Главная Обратная связь

Дисциплины:






Производные функции одной переменной



Понятие производной является одной из основным математическом анализе, играющим большую роль и в экономических исследованиях. Поэтому стоит более глубоко ознакомится с этим понятием, например, по литературе, приведенной в конце методических указаний.

Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится нулю:

. (2.1)

Производная функции имеет несколько обозначений: , , . Иногда в обозначении производной используется индекс, указывающий, по какой переменной взята производная, например, . Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования

1. , 4. ,
2. , 5. ,
3. , 6. ,

Таблица производных простейших элементарных функций

1. , 5. ,
2. , 6. ,
2а. , 7. ,
2б. , 8. ,
2в. , 9. ,
3. , 9а. ,
3а. , 10. ,
4. , 10а. .
4а. ,  

Пример 2.1. Найти производные dy/dx данных функций:

а) , б) ,
в) .

Решение. а) При вычислении производной данной функции воспользуемся формулой (ua)'=aua–1u'. Тогда производная исходной функции найдется следующим образом:

.

б) В данном случае воспользуемся правилом дифференцирования частного: . В результате получим

.

в) Используя правило дифференцирования сложной функции, получим

.

При вычислении производной сложно-показательной функции следует функцию предварительно прологарифмировать, а затем уже искать производную. Такой приём называется логарифмическим дифференцированием.

Пример 2.2. Найти производную:

.

Решение. При вычислении производной данной функции, прологарифмируем исходное выражение:

.

Теперь продифференцируем полученное выражение, учитывая, что y является функцией от x:

Отсюда

.

Если y как функция от x задаётся посредством уравнения

, (2.2)

то y называется функцией от x, заданной неявно. Производная от такой функции может быть найдена следующим образом. Находим производную по x от функции , учитывая при этом y=y(x) как функцию от x, и приравниваем её к нулю. Разрешаем полученное уравнение относительно y¢; в результате будем иметь выражение производной от неявной функции в виде: y¢=f(x,y).

Пример 2.3. Найти производную функции, заданной неявно:

Решение. При вычислении производной от неявно заданной функции следует продифференцировать исходное уравнение по x с учетом того, что переменная y зависит от x: y=y(x) и :

.

Сгруппируем слагаемые, содержащие y':

.



Отсюда находим

.

Пусть зависимость между x и y задана параметрически в виде двух уравнений

, (2.3)

где t – вспомогательная переменная, называемая параметром. Производная от такой функции может быть найдена по формуле:

. (2.4)

Пример 2.4. Найти производную функции, заданной параметрически:

Решение. Находим производные от функций x(t) и y(t):

.

Тогда

.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...