Главная Обратная связь

Дисциплины:






Рекуррентный метод наименьших квадратов (РМНК)



 

Алгоритм рекуррентного метода наименьших квадратов (РМНК-алгоритм) – простейший рекуррентный алгоритм математический обработки результатов эксперимента. Основан на идеях метода наименьших квадратов.

Измерения проводятся в последовательные моменты времени,

причём в каждый момент может проводиться различное число измерений, т.е. матрица измерений в общем случае зависит от времени Сi (под i понимается не номер измерения в выборке, а время) и имеет вид:

,

где

Сi – матрица измерений для i-го момента времени; ее размерность ( ),

- вектор параметров,

- ошибки измерений,

Ошибки в различные моменты времени некоррелированны:

однако внутри группы они могут быть любыми.

- фиктивное измерение, которое определяется априорной информацией о значениях интересующих параметров и ошибках измерения.

Введём вектор ошибок измерения: . Характеристики ошибок измерения имеют вид

,

где – блочная квазидиагональная матрица, составленная из соответствующих ковариационных матриц ошибок измерения.

Измерения, как отмечалось выше, имеют вид

Рассмотрим часть измерений ,

. Тогда

,

и матрица измерений примет вид

Ошибки и их характеристики запишутся как

,

,

.

- регрессионная модель, линейная по параметру . Поэтому можно использовать метод наименьших квадратов.

Распишем по шагам конструкцию :

 

для i=1: ;

для i=2: ;

Но тогда для любого i:

Распишем по шагам конструкцию :

для i=1:

для i=2:

.....

Совершенно аналогично предыдущему случаю для любого i:

Qi, bi – матрицы коэффициентов;

- рекуррентный алгоритм РМНК.

Введём следующие обозначения: , тогда

Для обращения матрицы будем

использовать преобразование [1]:

Тогда:

С другой стороны при подстановке значения получаем

И тогда рекуррентный алгоритм МНК: принимает так называемую каноническую форму записи

Эти три матричных уравнения задают рекуррентный алгоритм метода наименьших квадратов. Первое из них определяет эволюцию оценки параметра в связи с обновлением измерений, а второе описывает динамику изменения ковариационной матрицы оценки параметра .

Для того чтобы РМНК-алгоритм начал «работать», необходимо задать априорное значение и . В силу определения ковариационной матрицы, матрица выбирается так, чтобы она была симметричной и положительно определённой. [8]


 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...