Главная Обратная связь

Дисциплины:






Метод простых итераций. Методы решения систем нелинейных уравнений



Методы решения систем нелинейных уравнений

Лекция прочитана 20.03

 

  1. Постановка задачи
  2. Метод простых итераций
  3. Метод Ньютона

 

Постановка задачи

 

Рассмотрим систему нелинейных уравнений с m неизвестными вида

 

.     (1)

 

Задача решения такой системы является более сложной, чем нахождение корней одного нелинейного уравнения, и чем задача решения линейных алгебраических уравнений. В отличие от систем линейных уравнений здесь использование прямых методов исключено и решение находится с использованием итерационных методов, т.е. находится приближенное решение

 

x* = (x1*, ... , xm*),

 

удовлетворяющее при заданном e > 0 условию .

Задача (1) совсем может не иметь решения или же число решений может быть произвольным. Введем векторную запись решения задачи:

 

x=(x1,…,xm)T, f=(f1,…,fm)T, f(x)=0.   (2)

 

Будем считать, что функции fi непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки х. Введем матрицу Якоби

 

.

 

Как и в случае решения одного уравнения начинаем с этапа локализации решения (отделения корней).

Пример. Дана система 2-х уравнений с 2-мя неизвестными

.

Найдем на плоскости место расположения решения.

Строим графики уравнений этой системы: а) - график 1-го уравнения, б) – график 2-го уравнения, с) – совмещенные графики.

 
 


х2 а) х2 б)

4

 
 

 

 


е

4 х1 е х1

 
 


х 2 с)

 

 

А В

4

С

 

 
 


4 х1

 

Рисунок 3 – Графики уравнений системы

 

Определяем границы координат пересечения графиков. Данная система имеет три решения. Координаты точек (B,C,A):

B: x1=4, x2=4

C: 3.5 < x1 < 4; 1.5 < x2 < 2.5.

Точки А и С симметричны относительно прямой х12. Координаты точки С определим приближенно: x1 » 3.8, x2 » 2.

Обусловленность и корректность решения системы (1). Предположим что система (1) имеет решение х и в некоторой окрестности этого решения матрица Якоби не вырождена. Это означает, что в указанной окрестности нет других решений системы.

В одномерном случае нахождение корня нелинейного уравнения приводит к определению интервала неопределенности (х*-d, х*+d).

 

 
 


у

 

 

х

а в

х

х*-б х*+б

 

Рисунок 4 – Графическое изображение интервала неопределенности

 

В этом случае мы не можем определить, какая же точка в интервале неопределённости является решением.



Если случай многомерный, то получаем некоторую область неопределённости D, и можем получить оценку радиуса e этой области:

 

 

Эта норма играет роль числа обусловленности. Чем оно больше, тем хуже эта система обусловлена

 

Метод простых итераций

Систему (1) преобразуем к следующему эквивалентному виду:

 

.   (3)

Или в векторной форме

(4)

 

Пусть задано начальное приближение . Подставляем его в правую часть системы (4) и получаем x(1)=j(x(0)), продолжая подстановку, находим х(2) и т.д. Получим последовательность точек , которая приближается к исходному решению х.

 

Условия сходимости метода

 

Пусть j '(x) - матрица Якоби (якобиан), соответствующая системе (4) и в некоторой D-окрестности решения х функции (i=1,2,…,m) дифференцируемы и выполнено неравенство вида:

 

,

где (0 £ q < 1), q - постоянная.

 

Тогда независимо от выбора х(0) из D-окрестности корня итерационная последовательность {хk} не выходит за пределы данной окрестности, метод сходится со скоростью геометрической прогрессии и справедлива оценка погрешности

.

 

Оценка погрешности

 

В данной окрестности решения системы, производные функции ji(x) (i=1,…,m) должны быть очень малы по абсолютной величине, т.е. сами функции должны быть почти постоянными. Тогда исходную систему (1) следует преобразовать к виду (3) с учетом условий сходимости.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...