Главная Обратная связь

Дисциплины:






Пример. Рассмотрим предыдущий пример и приведем систему к удобному для итераций виду



 

Проверяем условие сходимости вблизи точки С. Вычислим матрицу Якоби

 

.

 

Так как x1»3.8, x2»2, то при этих значениях вычисляем норму матрицы

 

|| ||»|| || »0.815.

 

Запишем итерационную процедуру

 

Следовательно, метод простых итераций будет сходиться со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой q»0.815. Вычисления поместим в таблице 1.

 

Таблица 1 Решение системы нелинейных уравнений

К
3.80000 3,75155 …. 3,77440 x1=3,77418
2.00000 2,03895 2,07732 x2=2,07712

 

При К=9 критерий окончания счета выполняется при e=10-3 и можно положить x1 =3.774 0.001

x2 =2.077 0.001.

 

 

Метод Ньютона

Суть метода состоит в том, что система нелинейных уравнений сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система (1) и задано начальное приближение x(0), приближение к решению х строим в виде последовательности .

В исходной системе (3.1) каждую функцию где i= , раскладывают в ряд Тейлора в точке х(n) и заменяют линейной частью её разложения

 

.    

 

Для каждого уравнения получаем

 

.   (5)

 

В матричной форме

 

(6)

где f ' - матрица Якоби.

 

Предположим, что матрица не вырождена, то есть существует обратная матрица .

Тогда система (6) имеет единственное решение, которое и принимается за очередное приближение x(n+1). Отсюда выражаем решение x(n+1) по итерационной формуле:

 

. (7)

Формула (7) и есть итерационная формула метода Ньютона для приближенного решения системы нелинейных уравнений.

Замечание. В таком виде уравнение (7) используется редко в виду того, что на каждой итерации нужно находить обратную матрицу. Поэтому поступают следующим образом: вместо системы (6) решают систему линейных алгебраических уравнений вида

 

f¢(x(n))*Dx(n+1) =-f(x(n)). (8)

 

Это система линейных алгебраических уравнений относительно поправки Dx(n+1)= x(n+1)- x(n). Затем полагают

 

x(n+1) =x(n) +Dx(n+1). (9)

 

Сходимость метода

 

Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения х системы (1) функции fi (при i= ) дважды непрерывно дифференцируемы и матрица Якоби не вырождена. Тогда найдется такая малая d окрестность вокруг решения х, что при выборе начального приближения x0 из этой окрестности итерационный метод (7) не выйдет за пределы этой окрестности решения и справедлива оценка вида



,

 

где n - номер итерации.

Метод Ньютона сходится с квадратичной скоростью. На практике используется следующие критерий остановки:

 

.


 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...