Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, можно использовать три метода: раскрытие модуля по определению, возведение обеих частей уравнения в квадрат и метод интервалов.

Первый способ основан на определении модуля. Напомним его:

.

Таким образом, решение уравнения вида распадается на решение совокупности уравнения при условии и уравнения при условии . Если в уравнении больше одного знака модуля, аналогичную процедуру повторяют для каждого модуля. Заметим также, что поскольку модуль – величина всегда неотрицательная, то для выражения должно выполняться условие .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Рассмотрим первый случай, когда . Тогда модуль в правой части уравнения раскрывается со знаком «+», то есть исходное уравнение принимает вид

.

Корнем последнего уравнения является . Поскольку , значение является корнем исходного уравнения. Теперь рассмотрим второй случай: . В этом случае модуль раскрывается со знаком «-» и уравнение принимает вид

.

Решение последнего уравнения - . Но, поскольку , то не является корнем исходного уравнения. Общий ответ является объединением ответов, полученных в первом и втором случаях.

Ответ. .

Второй способ основан на следующем свойстве модуля: . Он состоит в возведение обеих частей уравнения в квадрат. То есть, чтобы решить уравнение надо решить равносильное ему уравнение . Заметим, что данный метод наиболее эффективен для решения уравнений вида , которые после возведения в квадрат обеих частей уравнения приводятся к виду . Напомним также, что возведение обеих частей уравнения в квадрат является равносильным преобразованием только если обе части уравнения неотрицательны.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:

,

.

Решив полученное квадратное уравнение, находим , .

Ответ.1/4; -3/2.

Для решения уравнений, содержащих несколько знаков модуля, наиболее эффективен метод интервалов (или метод разбиения на промежутки). Для применения метода интервалов числовую ось разбивают на промежутки так, чтобы модуль любого из выражений в уравнении раскрывался одинаково для всех значений из данного промежутки. Нетрудно заметить, что точками, разбивающими ось на данные промежутки, будут значения , обращающие в ноль каждое из выражений под знаком модуля. После разбиения находят знаки подмодульных выражений на каждом из промежутков. Затем для каждого промежутка решают получившееся послу раскрытия модулей уравнение и проверяют корни на принадлежность рассматриваемому промежутку. Решение уравнения является объединения корней, полученных для каждого из промежутков.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Расставим на числовой оси точки и , в которых подмодульные выражения обращаются в нуль. Таким образом, мы разбили числовую ось на три промежутка: , и . В первом промежутке оба модуля раскрываются со знаком «-», во втором – первый модуль со знаком «+», второй – «-», в третьем – оба со знаком «+». Рассмотрим эти промежутки по отдельности.

На промежутке получаем уравнение , откуда . Поскольку принадлежит промежутку , он является корнем исходного уравнения.

На промежутке получаем . Корень данного уравнения не принадлежит рассматриваемому промежутку и, значит, не является корнем исходного уравнения.

На промежутке имеем уравнение . Его корень н принадлежит и, значит, не является корнем исходного уравнения. Окончательный ответ является объединением полученных решений.

Ответ: -4/5.

Системы уравнений