Главная Обратная связь

Дисциплины:






Матеріали для самоконтролю. 1. Приклади задач з рішеннями



1. Приклади задач з рішеннями

Задача 1.

Збільшення маси m клітини при її зрості описується рівнянням Шмальгаузена та Бордзиловської

де a - стала, пропорційна площі поверхні клітини, характеризує процеси синтезу, а b - стала, пропорційна об'єму, характеризує процеси, протидіючі синтезу.

Визначите часову залежність маси клітини.

Розв’язання.

Поділяючи змінні у рівнянні Шмальгаузена та Бордзиловської, одержимо

.

Інтегруюємо обидві частини рівняння

Інтеграл справа

обчислюємо методом заміни змінної

Друга заміна змінної

дає

.

 

Загальний розв’язок має вигляд

.

Тому, потенціюючи, одержимо

,

тобто

.

Визначимо сталу інтегрування С, відповідну умові

при

,

Знайдемо частинний розв’язок, підставляючи знайдене значення сталої інтегрування у загальний розв’язок,

.

отже, залежність маси клітини від часу визначається за формулою

.

Цей частинний розв’язок є шуканою відповідю.

При великих значеннях показника експоненти

Це означає, що через деякий час настає рівновага між процесами синтезу та розпаду, при цьому досягається кінцева маса клітини.

Задача 2.

Стік крові до периферії під час діастоли описується у межах моделі кровеносної системи, запропонованої О.Франком, диференціальним рівнянням

.

де k - еластичність стінок судин, p - тиск крові, X - гідравлічний опір периферичної частини кровеносної системи, t - час.

Визначити залежність тиску від часу після систоли.

Розв’язання.

Розділимо змінні у диференціальному рівнянні

.

Інтегруючи, одержимо

,

, .

Момент часу t = 0 відповідає кінцю систоли, тому відповідний тиск є систоличним у момент завершення систоли - . З урахуванням цієї обставини шуканий розв’язок має вигляд

.

Ця функція добре описує залежність тиску від часу наприкінці діастоли.

Задача 3.

Швидкість зросту популяції бактерій у момент часу t ( у годинах ) дорівнює розміру популяції x, поділеному на 5.

Опишіть цей процес диференціальним рівнянням та знайдіть за-лежність розміру популяції бактерій від часу.

Розв’язання.

Згідно з умовою, запишемо

Розділимо змінні у диференціальному рівнянні

.

Інтегруємо обидві частини рівняння

,

.

Потенціюємо

.

Вихідний розмір популяції відповідає моменту часу t = 0. Тому початкова умова має вигляд

.

Визначимо сталу інтегрування С, відповідну цій умові:

.

Знайдемо окремий розв’язок, підставляючи знайдене значення сталої інтегрування у загальний розв’язок,

.

Цей окремий розв’язок є шуканою відповідю.

Задача 4.

В експерименті з голодуванням маса m випробуваного за 10 днів зменшилась з 66 до 60 кг. Щоденні втрати маси, згідно спостереженням, були пропорційні масі випробуваного.



Визначити масу випробуваного через 5 днів у цьому експерименті.

Розв’язання.

Складемо диференціальне рівняння. Згідно умові задачи втрата у масі dm пропорційна масі m тіла випробуваного, зрозуміло також, що втрата у масі dm пропорційна інтервалу часу dt, протягом якого вона сталась. Вводячи коефіцієнт пропорційності a, запишемо, виходячи з всього сказаного, таке рівняння

- dm = amdt.

Розділимо змінні у диференціальному рівнянні

.

Інтегруємо обидві частини рівняння

,

.

Потенціюючи, одержимо

.

Момент часу t = 0 відповідає початку експерименту, коли маса випробуваного згідно умові дорівнює 66 кг. Тому початкова умова має вигляд m(0) = 66.

Визначимо сталу інтегрування С, відповідну цій умові:

.

Знайдемо частинний розв’язок, підставляючи знайдене значення сталої інтегрування у загальний розв’язок,

.

Значення коефіцієнта a ми одержимо, використовуючи інформацію про те, що 10 днів пізніше після початку експерименту маса випро­буваного склала 60 кг, тобто, що

m(10) = 60.

Підставимо t = 10 та m = 60 у загальний розв’язок

.

Із цього рівняння легко визначити шуканий коефіцієнт

10a = ln1,1 a = 0,1ln1,1 .

Підставляючи значення коефіцієнта a в частинний розв’язок, одержимо шукану залежність маси випробуваного від часу

.

За допомогою цієї формули можна визначити, чому дорівнює маса випробуваного у будь-який момент часу протягом всього експерименту. Наприклад, через 5 днів маса дорівнює

.

Задача 5.

В регіон занесено інфекційне захворювання. Частка людей p, що перенесли захворювання за t років, описується диференціальним рівнянням

.

За скільки років число перехворівших досягне 90%?

Розв’язання.

Розділимо змінні у диференціальному рівнянні

.

Інтегруємо обидві частини рівняння

.

Інтеграл, що стоїть у лівій частині рівності, обчислимо за допомогою підстановки

z = 1 - p dz = - dp

Одержимо

.

Загальний розв’язок має вигляд

.

Потенціюючи, одержимо

,

При t = 0 захворівших не було, тому початкова умова має вигляд

p(0) = 0.

Визначимо сталу інтегрування С, відповідну цій умові,

0 = 1 - C, C = 1.

Знайдемо частинний розв’язок, підставляючи знайдене значення сталої інтегрування у загальний розв’язок,

.

Щоб визначити, за скільки років частка перехворівших досягне 90 відсотків, підставимо у цю формулу p = 0,9 та обчислимо якому значенню t відповідає це значення p.

, , , .

Отже, за 4,6 року перехворіє 90% населення.

Задача 6.

В моделі епідемій один заражений індивідуум вводиться у спільноту, що складається з n індивідуумів, сприйнятливих до даного захворювання. Нехай чисельність незаражених індивідуумів дорівнює x(t). Відомо, що зменшення x(t) описується диференціальним рівнянням

dx = - rx(n + 1 - x)dt,

де r - частота контактів між членами спільноти, від якої залежить швидкість розповсюдження інфекції.

Знайдіть розв’язок цього диференціального рівняння.

Розв’язання.

Розділимо змінні у диференціальному рівнянні

.

Інтегруємо обидві частини рівняння

.

Інтеграл у лівій частині рівності можна вирахувати, взявши до

уваги, що

Підставляючи цей розклад у інтеграл, одержимо

.

Другий інтеграл обчислюється підстановкою

z = n + 1 - x, dz = - dx.

Об’єднуючи ці результати, маємо

.

Загальний розв’язок має вигляд

.

Потенціюючи, одержимо

, .

Перед початком епідемії число сприйнятливих дорівнює числу людей у спільноті, тобто

x(0) = n.

З урахуванням цієї початкової умови визначимо сталу інтегрування

, .

Знайдемо частинний розв’язок, підставляючи знайдене значення сталої інтегрування у загальний розв’язок,

.

На практиці під час епідемії реєструється звичайно число нових випадків захворювання, що з'являються за добу або за тиждень. Тому зручніше розглядати динаміку зростання числа нових випадків, що описується формулою

.

Графік цієї функії називається епідемічною кривою. Ця крива спочатку росте, досягає максимуму при

і далі зменшується до нуля. Таким чином, епідемічна крива описує характерну властивість епідемій: число нових випадків спочатку швидко зростає, у якийсь момент часу досягає максимуму, а потім зменшується до нуля.

 

2.Задачі для самоконтролю.

1. Гідродинамічна модель кровеносної системи Франка для діастоли установлює зв'язок між тиском крові p, гідравлічним опіром X та часом t у такому вигляді

,

де k - коефіцієнт пропорційності, що характеризує пружність стінок судин.

Одержати залежність тиску крові від часу.

2. Розв’язати рівняння Нернста-Планка, що визначає густину потоку Ф йонів через мембрану при електродифузії

.

де D - коефіцієнт дифузії, y - безрозмірний потенціал, l - товщина мембрани, C - концентрація йонів.

3. Релаксація напруги s у моделі Максвелла (послідовно з'єднані в’язкий та пружний елементи) при постійній відносній деформації визначається рівнянням ( E - модуль пружності, h - в'язкість):

.

Визначити залежність напруги від часу .

4. Релаксація напруги s у моделі Кельвіна-Фойхта (паралельно з'єднані в’язкий та пружний елементи) після додатка постійної сили описується рівнянням (E - модуль пружності, h - в'язкість):

.

Визначити залежність відносної деформації від часу .

5. Зменшення числа радіоактивних ядер dN за час dt визначається основним законом радіоактивного розпаду (l - стала розпаду):

.

Знайти інтегральну форму закону .

6. При безперервному внутрішньосудинному введенні препарату з постійною швидкістю q змінення його кiлькості m у крові описується рівнянням (k - стала виведення препарату з крові)

Знайти залежність .

7. Сила струму I при розмиканні кола з індуктивністю L та опіром R описується рівнянням

.

Знайти залежність при відключенні апарату від кола.

 

3. Контрольні запитання:

1. Які рівняння називаються диференціальними?

2. Звичайні диференціальні рівняння.

3. Порядок диференціального рівняння.

4. Загальний розв’язок диференціального рівняння.

5. Частинний розв’язок диференціального рівняння.

6. Диференціальні рівняння з розділяючимися змінними.

7. Диференціальні рівняння у частинних похідних.

Основна література

 

1. Жуматій П.Г. “Математична обробка медико-біологічних даних. Задачі та приклади”. Одеса, 2009.

2. Жуматій П.Г. “Диференціальні рівняння”. Одеса, 2009.

3. Жуматій П.Г. Сеницька Я.Р. Елементи вищої математики. Методичні вказівки для студентів медичного інститута. Одеса, 1981.

4. Чалий О.В., Агапов Б.Т., Цехмістер Я.В. Медична і біологічна фізика. Київ, 2004.

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...