Главная Обратная связь

Дисциплины:






плоскости в пространстве



5) Способы задания плоскости на чертеже. Следы плоскости. Положение плоскости относительно плоскостей проекции: плоскость общего положения, проецирующая плоскость, плоскость уровня. Способы задания
плоскости: а - тремя точками, не лежащими на одной прямой; б - прямой и точкой вне ее; в - двумя пересекающимися прямыми; г - двумя параллельными прямыми; д - плоской фигурой; ж - следами плоскости . Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. В зависимости, от того с какой из плоскостей проекций пересекается данная плоскость, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

Каждый след плоскости является прямой линией, для построения которых необходимо знать две точки, либо одну точку и направление прямой. В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: - горизонтальныйaП1; - фронтальный aП2; - профильный aП3).

2. Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

2.1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (a1), называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек этой плоскости совпадают с горизонтальным следом (рис.46).

     
 
 
   
 

2.2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (a^П2)- фронтально проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости a является прямая линия, совпадающая со следом aП2 (рис.47).

     
 
 
   
 

2.3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости ( a^П3) - профильно проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость (рис.48).

     
 
 
   
 

3. Плоскости, параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельна исследуемая плоскость, различают:



3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (1) - (a^П2,a^П3). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П1 без искажения, а на плоскости П2 и П3 в прямые - следы плоскости aП2 и aП3

     
 
 
   
 

3.2. Фронтальная плоскость- плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (2), (a^П1, a^П3). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П2 без искажения, а на плоскости П1 и П3 в прямые - следы плоскости aП1 и aП3.

     
 
 
   
 

3.3. Профильная плоскость- плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (a//П3),(a^П1, a^П2). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П3 без искажения, а на плоскости П1 и П2 в прямые - следы плоскости aП1 и aП2

     
 
 
   
 
     

6) Прямая и точка в плоскости. Главные линии в плоскости: горизонталь, фронталь. Определение положения точки и ее видимости относительно плоскости с помощью конкурирующих точек.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Из элементарной геометрии известно, что прямая принадлежит плоскости, если:

  1. oна проходит через две точки, принадлежащие плоскости;
  2. oна проходит через 1 точку, принадлежащую плоскости, и параллельна прямой, лежащей в плоскости.

Из первого положения следует, что если прямая принадлежит плоскости, то ее одноименные следы лежат на одноименных следах плоскости.Фронталь — прямая в начертательной геометрии, параллельная фронтальной плоскости проекции в аксонометрическом или ортогональном чертеже, проецируется на фронтальную плоскость в истинную величину.Горизонталь — прямая в начертательной геометрии, параллельная горизонтальной плоскости проекции в аксонометрическом или ортогональном чертеже, проецируется на горизонтальную плоскость в натуральную величину.

7) Поверхность: понятие и определение. Каркас поверхности. Образование и задание поверхности на чертеже. Кинематический способ образования поверхности. Очерк поверхности. Поверхности линейчатые и не линейчатые. Построение каркаса линейчатой поверхности и недостающих проекций точек и линий, принадлежащих ей.

Поверхностью называется непрерывное двупараметрическое множество точек. Для получения наглядного изображения поверхности на чертеже закон перемещения линии целесообразно задавать графически в виде совокупности линий и указаний о характере перемещения линии. Эти указания могут быть заданы графически, в частности с помощью направляющей поверхности. В процессе образования поверхностей линия может оставаться неизменной или менять свою форму. Такой способ образования поверхности называется кинематическим, а сама поверхность - кинематической.

Закон перемещения образующей линии, как правило, задается при помощи направляющих линий и алгоритма перемещения образующей по направляющим.

На чертеже кинематическая кривая поверхность задается при помощи ее определителя. Определителем поверхности называют совокупность условий, необходимых и достаточных для задания поверхности в пространстве.

Подвижная линия называется образующей, неподвижные линии и поверхность - направляющими. Другим способом образования поверхности и ее изображения на чертеже может служить каркас поверхности.

Каркасом поверхности принято называть упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности.

В зависимости от того, чем задается каркас поверхности, точками или линиями, каркасы называют точечными или линейными. Линейным каркасом называется множество таких линий, которые имеют единый закон образования и связаны между собой определенной зависимостью. Условия связи между линиями каркаса называются зависимостью каркаса. Эта зависимость характеризуется некоторой изменяющейся величиной, которая называется параметром каркаса. Если параметр линейного каркаса является непрерывной функцией, то каркас называется непрерывным, а если параметр - прерывная функция, то каркас называется дискретным.

На чертеже поверхность вращения задается своим очерком. Очерком поверхности называются линии, которые ограничивают области ее проекций. Построение каркаса образующих линейчатой поверхности начинаем с плоскости П1, т.к. заданная плоскость параллелизма Σ является горизонтально проецирующей плоскостью. Поэтому на горизонтальной проекции направляющей a1 выбираем пять произвольных точек и обозначаем их 11, 21, …, 51. Через эти точки проводим горизонтальные проекции образующих параллельно Σ1. Точки пересечения образующих с направляющей b1 обозначаем теми же цифрами, но с добавлением штрихов. Используя вертикальные линии связи, находим фронтальные проекции точек пересечения образующих с направляющими. Соединив найденные фронтальные проекции точек между собой, получаем искомый каркас образующих линейчатой поверхности.

8) Поверхности вращения. Задания поверхности вращения на чертеже. Частные виды поверхностей вращения: тор, сфера, параболоид вращения, гиперболоид вращения( однополостной, двуполостной). Построение недостающих проекций точек и линий, принадлежащих поверхности вращения.

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых. Сфера – образуется вращением окружности вокруг её диаметра.

При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипсоиды, которые могут быть получены вращением эллипса вокруг одной из осей: если вращение вокруг малой оси, то эллипсоид называется сжатым или сфероидом, если вокруг большой – вытянутым. Тор– образуется при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр окружности. Параболоид вращения– образуется при вращении параболы вокруг своей оси. Гиперболоид вращения– различают одно и двух полостной гиперболоиды вращения. Первый получается при вращении вокруг мнимой оси, а второй – вращением гиперболы вокруг действительной оси. При задании поверхности на чертеже ось вращения обычно располагают перпендикулярно одной из плоскостей проекций. На рисунке ось 1.

В этом случае все параллели поверхности, горло и экватор проецируются на П1 в истинную величину, а на П2 в отрезки прямых, перпендикулярные i2 – проекции оси i. Задание поверхности осью i и образующим полумеридианом l ненаглядно. Поэтому на чертеже строят проекции главного меридиана q1 и q2, проводят проекции горла, экватора и двух параллелей, образованных вращением верхней точки А и нижней – Е. В основе нахождения проекций точки, принадлежащей поверхности, лежит свойство: точка (А) принадлежит поверхности, если она принадлежит некоторой линии(а)этой поверхности.На чертеже проекции точки 1,А2) должны находиться на одноимённых с ними проекциях этой линии 1 а1, А2 а2).

Если точка задана на проецирующей поверхности (рис. 23, 24), то для нахождения проекций точки используют собирательное свойство следа поверхности, то есть проекции всех её точек находятся на линии, в которую вырождается проекция поверхности.

В общем же случае для нахождения недостающих проекций точки, принадлежащей поверхности, нужно через заданную её проекцию провести проекцию линии на поверхности, построить другие проекции линии и на них по линиям связи найти искомые проекции точки. Для решения этой задачи желательно использовать линии простейшей формы: прямые и окружности. Например, прямая линия на плоскости боковой грани пирамиды (рис. 25); прямая линия (образующая) или окружность на конусе (рис. 26); окружность на сфере (рис. 27).

9) Позиционные задачи: понятия и определения. Алгоритм решения задачи на построение прямой пересечения двух плоскостей(общий случай). Построение линии пересечения плоскостей при различном способе их задания и положения относительно плоскостей проекций. Задачи, связанные с решением вопросов взаимного расположения геометрических фигур на комплексном чертеже, называются позиционными. Среди позиционных можно выделить две группы задач, представляющих наибольший практический интерес. К ним относятся задачи на взаимную принадлежность и задачи на взаимное перенесение. Решение позиционных задач на принадлежность предполагает работу с линиями поверхности графически простыми, например прямой или окружностью. Это необходимо для того, чтобы не усложнять построений на комплексном чертеже. Для правильного выбора этих линий надо знать, какие семейства линий несет на себе та или иная поверхность. Задачи на взаимное пересечение связаны с построением точек, принадлежащих одновременно двум рассматриваемым геометрическим образам, например прямой и плоскости, двум плоскостям, плоскости и поверхности, двум поверхностям. Каждую из этих точек строят в пересечении двух вспомогательных линий. Эти линии должны быть графически простыми и принадлежать одной вспомогательной плоскости или поверхности. Выбор вспомогательных, поверхностей (посредников), несущих в себе вспомогательные линии, зависит от формы пересекающихся поверхностей. Совокупность построенных общих точек позволяет построить линию пересечения геометрических образов.

10) Алгоритм решения задачи на построение точки пересечения прямой с плоскостью (общий случай). Частные случаи построения точки пресечения прямой с плоскостью. Определение видимости прямой относительно плоскости с помощью конкурирующих точек. Алгоритм: заключить данную прямую во вспомогательную плоскость-проецирующую или уровня, построить линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной. Найти точку пересечения полученной линии пересечения с заданной прямой. Определить видимость прямой по правилу конкурирующих точек.

11) Построение сечения многогранника плоскостью. Способ ребер, способ граней. Правила построения сечений многогранников:

1.проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2. ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым. Способ ребер. В этом способе находят точки пересечения ребер многогранника с плоскостью, то есть находят вершину многоугольника сечения. Способ граней- находят прямые пересечения грани многогранника с плоскостью, то есть находят стороны многоугольника сечения.

12) Пересечение поверхности вращения плоскостью. Построение сечения прямого кругового цилиндра плоскостью общего положения. При пересечении поверхности вращения плоскостью получается плоская фигура сечения. Построение проекций линии сечения необ­ходимо начинать с определения опорных точек. К ним относятся точ­ки, расположенные на очерковых образующих поверхности (точки, определяющие границы видимости проекций кривой), и точки, уда­ленные на экстремальные (максимальное и минимальное) расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют произвольные (промежуточные) точки линии сечения.

Для определения точек, принадлежащих фигуре сечения, можно использовать различные методы. Один из них - метод вспомогатель­ных секущих плоскостей. Суть его заключается в том, что заданные плоскость и поверхность вращения пересекают вспомогательной плоскостью. Находят линии пересечения этой плоскости с заданными плоскостью и поверхностью вращения. Затем отмечают точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения. Построенные точ­ки фигуры сечения соединяют плавной линией.

Построение сечения прямого кругового цилиндра аналогично построению сечения призмы, так как прямой круговой цилиндр можно рассматривать как прямую призму с бесчисленным количеством ребер — образующих цилиндра.

 

Выполнение чертежа начинают с построения трех проекций прямого кругового цилиндра. На поверхности цилиндра проводят несколько равномерно расположенных образующих, в данном примере двенадцать. Для этого горизонтальную проекцию основания делят на 12 равных частей. С помощью линий связи проводят фронтальные проекции образующих цилиндра

 

Из комплексного чертежа видно, что плоскость Р пересекает не только боковую поверхность, но и верхнее основание цилиндра. Как известно, плоскость, расположенная под углом к оси цилиндра, пересекает его по эллипсу. Следовательно, фигура сечения в данном случае представляет собой часть эллипса.

 

Фронтальная проекция фигуры сечения совпадает с фронтальным следом Pv плоскости Р. Горизонтальная проекция этой фигуры совпадает с горизонтальной проекцией основания цилиндра.

 

Профильная проекция фигуры сечения представляет собой проекцию части эллипса и может быть построена по нескольким точкам, которые строятся с помощью линий связи по горизонтальной и фронтальной проекциям фигуры сечения. Полученные таким образом профильные проекции точек фигуры сечения соединяют кривой по лекалу.

 

Действительный вид фигуры сечения получен, а способом перемены плоскостей проекций. Горизонтальная плоскость проекций заменена новой. Новая ось проекций х1 может быть проведена параллельно следу Pv на произвольном расстоянии, но для упрощения построений она выполнена совпадающей с Ру . От оси xt откладывают отрезки 5'50=55х, 4'40=44х, т. е. отрезки «г, и и т. д., так как расстояние от новой проекции этой точки до новой оси проекций равно расстоянию от прежней проекции этой точки до прежней оси проекций. Развертка боковой поверхности усеченного цилиндра с основанием и фигурой сечения.

13) Пересечение прямого кругового конуса плоскостью: свойства конических сечений и построение их проекций. Конические сечения – плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью.

 

За исключением вырожденных случаев, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы. С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка.

 

Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (IV в. до н. э.). Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба.

 

Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце IV в. до н. э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые «Конические сечения» Аполлония Пергского, которые сохранились до нашего времени. Аполлоний, варьируя угол наклона секущей плоскости, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола.

 

В своих построениях Аполлоний использовал двуполостной круговой конус, поэтому впервые стало ясно, что гипербола – кривая с двумя ветвями. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Эллипс образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; парабола – когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; гипербола – когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса. Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости.

 

СВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

 

Определения Паппа. Установление фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтернативное определение конических сечений в целом. Пусть F – заданная точка (фокус), а L – заданная прямая (директриса), не проходящая через F, и DF и DL – расстояния от подвижной точки P до фокуса F и директрисы L соответственно. Тогда, как показал Папп, конические сечения определяются как геометрические места точек P, для которых отношение DF/DL является неотрицательной постоянной. Это отношение называется эксцентриситетом e конического сечения. При e < 1 коническое сечение – эллипс; при e > 1 – гипербола; при e = 1 – парабола. Если F лежит на L, то геометрические места имеют вид прямых (действительных или мнимых), которые являются вырожденными коническими сечениями.

 

Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из этих кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это обстоятельство навело Кеплера в 1604 на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса – бесконечно удаленные точка и прямая. Точно также и окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с центром, а директрисы находятся в бесконечности. Эксцентриситет e в этом случае равен нулю.

 

Конструкция Данделена. Фокусы и директрисы конического сечения можно наглядно продемонстрировать, если воспользоваться сферами, вписанными в конус и называемыми сферами (шарами) Данделена в честь бельгийского математика и инженера Ж.Данделена (1794–1847), предложившего следующую конструкцию. Пусть коническое сечение образовано пересечением некоторой плоскости p с двухполостным прямым круговым конусом с вершиной в точке O. Впишем в этот конус две сферы S1 и S2, которые касаются плоскости p в точках F1 и F2 соответственно. Если коническое сечение – эллипс (рис. 5,а), то обе сферы находятся внутри одной и той же полости: одна сфера расположена над плоскостью p, а другая – под ней. Каждая образующая конуса касается обеих сфер, и геометрическое место точек касания имеет вид двух окружностей C1 и C2, расположенных в параллельных плоскостях p1 и p2. Пусть P – произвольная точка на коническом сечении. Проведем прямые PF1, PF2 и продлим прямую PO. Эти прямые – касательные к сферам в точках F1, F2 и R1, R2. Поскольку все касательные, проведенные к сфере из одной точки, равны, то PF1 = PR1 и PF2 = PR2. Следовательно, PF1 + PF2 = PR1 + PR2 = R1R2. Так как плоскости p1 и p2 параллельны, отрезок R1R2 имеет постоянную длину. Таким образом, величина PR1 + PR2 одна и та же для всех положений точки P, и точка P принадлежит геометрическому месту точек, для которых сумма расстояний от P до F1 и F2 постоянна. Следовательно, точки F1 и F2 – фокусы эллиптического сечения. Кроме того, можно показать, что прямые, по которым плоскость p пересекает плоскости p1 и p2, – директрисы построенного эллипса. Если p пересекает обе полости конуса (рис. 5,б), то две сферы Данделена лежат по одну сторону от плоскости p, по одной сфере в каждой полости конуса. В этом случае разность между PF1 и PF2 постоянна, и геометрическое место точек P имеет форму гиперболы с фокусами F1 и F2 и прямыми – линиями пересечения p с p1 и p2 – в качестве директрис. Если коническое сечение – парабола, как показано на рис. 5,в, то в конус можно вписать только одну сферу Данделена.

 

Другие свойства. Свойства конических сечений поистине неисчерпаемы, и любое из них можно принять за определяющее. Важное место в Математическом собрании Паппа (ок. 300), Геометрии Декарта (1637) и Началах Ньютона (1687) занимает задача о геометрическом месте точек относительно четырех прямых. Если на плоскости заданы четыре прямые L1, L2, L3 и L4 (две из которых могут совпадать) и точка P такова, что произведение расстояний от P до L1 и L2 пропорционально произведению расстояний от P до L3 и L4, то геометрическое место точек P является коническим сечением. Ошибочно полагая, что Аполлоний и Папп не сумели решить задачу о геометрическом месте точек относительно четырех прямых, Декарт, чтобы получить решение и обобщить его, создал аналитическую геометрию.

14)пересечение прямой с поверхностью. Алгоритм решения задачи на определение точек пересечения прямой с поверхностью. При пересечении прямой с поверхностью тела получаются две точки, одновременно принадлежащие как прямой, так и поверхности тела. Эти точки называются точками входа и выхода. Алгоритм: заключаем прямую во вспомогательную плоскость частного положения. Находим линию пересечения плоскости с поверхностью. На пересечении заданной прямой и получившейся линии находим искомые точки. Определяем видимость.

15) Определение линии пересечения двух поверхностей способом секущих плоскостей. Выбор секущих плоскостей. Определение опорных точек. При построении линии пересечения двух поверхностей способом секущих плоскостей секущие плоскости, принятые в качестве посредников, могут быть и общего, и частного положения. Более широкое применение находят плоскости частного положения. Плоскости общего положения применяются в ограниченных случаях. Например, их удобно использовать при построении линии пересечения конических и цилиндрических, а также пирамидальных и призматических поверхностей общего вида, когда основания этих поверхностей расположены в одной и той же плоскости.

Вспомогательные секущие плоскости чаще всего выбирают проецирующими и параллельными одной из плоскостей проекций - плоскостями уровня.

 

Этот способ рекомендуется применять, если сечения заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямыми линиями или окружностями. Такая возможность существует в трех случаях:

 

1. Если образующие (окружности) расположены в общих плоскостях уровня;

 

2. Если в общих плоскостях уровня оказываются прямолинейные образующие линейчатой поверхности и окружности циклической;

 

3. Линейчатые каркасы заданных поверхностей принадлежат общим плоскостям уровня или пучкам плоскостей общего положения. Опорными точками являются:

1) точки, принадлежащие участвующим в пересечении ребрам многогранника (рис.4.38);

2) точки, в которых линия пересечения пересекает линию видимого контура поверхности относительно той или иной плоскости проекций (точки С и D на рис. 4.40); проекции этих точек принадлежат очерковой линии соответствующей проекции поверхности и называются очерковыми. В этих точках проекция линии пересечения касается очерка проекции поверхности. В случае пересечения поверхности с плоскостью (рис. 4.41 - 4.44) очерковые точки делят соответствующую им проекцию линии пересечения на видимую и невидимую части и называются точками смены видимости. При пересечении двух поверхностей (когда ни одна из них не является плоскостью) не каждая из очерковых точек является одновременно и точкой смены видимости;

3) экстремальные точки, то есть самая близкая и самая удаленная точки линии пересечения относительно той или иной плоскости проекций. Экстремальные точки относительно плоскости П1 называются высшей и низшей (точки А и В на рис. 4.40).

Основным способом построения точек, принадлежащих искомой линии пересечения, является способ вспомогательных поверхностей. Сущность его заключается в том, что каждая из искомых точек рассматривается как результат пересечения двух линий, одна из которых является линией пересечения вспомогательной поверхности с одной из заданных, а вторая - линией пересечения той же вспомогательной поверхности с другой из заданных поверхностей.

В соответствии с этим построение произвольных точек 1 и 2, принадлежащих линии l пересечения поверхностей Ф и (независимо от их вида), осуществляется по следующей общей схеме:

1. Проводится вспомогательная поверхность , пересекающая заданные поверхности Ф и .

2. Определяются линии m и n пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных.

3. Отмечаются точки 1 и 2 пересечения построенных линий m и n, которые и являются искомыми, так как одновременно принадлежат данным поверхностям Ф и и, следовательно, линии l их пересечения.

16)пути перевода геометрической фигуры из общего в частные положения относительно плоскостей проекций. Способы преобразования ортогональных проекций. Способ параллельного перемещения. Теорема параллельного перемещения, свойства параллельного перемещения. Перевод геометрической фигуры из общего положения в частное может быть осуществлён двумя путями:

 

Перемещением плоскостей проекций в положение, относительно которых плоские фигуры занимали бы частное положение (были бы параллельны или перпендикулярны плоскостям проекций).

Перемещением плоской фигуры в пространстве в частное положение относительно плоскостей проекций, причём положение плоскостей проекций при этом остаётся неизменным.

 

Первый путь лежит в основе метода замены плоскостей проекций, а второй - в основе следующих методов:

 

Вращение вокруг линии уровня.

Вращение вокруг проецирующих прямых.

 

Методы преобразования проекций позволяют значительно упростить решение метрических и некоторых позиционных задач. Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществлять за счет изменения положения проецируемой фигуры относительно плоскостей проекций.

 

При ортогональном проецировании это достигается двумя путями:

 

1. Перемещение в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения в пространстве - метод плоскопараллельного перемещения.

 

2. Перемещением плоскостей проекций в новое положение по отношению, к которому проецируемая фигура окажется в частном положении - метод замены плоскостей проекций. Способ параллельного перемещения основан на том, что при параллельном переносе геометрического тела относительно плоскости проекций проекция его на эту плоскость не меняет своей формы и размеров, хотя и меняет положение. При этом если точка перемещается в плоскости, параллельной П1, то ее фронтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной оси П2/П1. Если же точка перемещается в плоскости, параллельной П2, то ее горизонтальная проекция изображается в виде прямой, параллельной той же оси. Свойства параллельного перемещения:

 

1. При всяком перемещении точек в плоскости параллельной плоскости П1, её фронтальная проекция перемещается по прямой линии, параллельной оси х.

 

2. В случае произвольного перемещения точки в плоскости параллельной П2, её горизонтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х.

 

В зависимости от положения этих плоскостей по отношению к плоскостям проекций и вида кривой линии - определяющей траекторию перемещения точек, метод плоскопараллельного проецирования имеет следующие частные случаи:

 

Метод вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций.

 

Метод вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций.

 

Метод вращения вокруг оси, принадлежащей плоскости проекций (вращение вокруг следа плоскости)- метод совмещения. Для параллельного перемещения (переноса) справедливо утверждение, которое может быть выражено в виде следующей теоремы:

 

при параллельном переносе геометрической фигуры относительно плоскости проекции проекция фигуры на эту плоскость хотя и меняет свое положение, но остается соответствующей проекции фигуры в ее исходном положении.

17) способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций( вращение вокруг линий уровня). Вращение плоской геометрической фигуры вокруг линии уровня до положения, параллельного плоскости проекций. Сущность способов вращения заключается в том, что заданную геометрическую фигуру путём вращения вокруг некоторой оси перемещают в пространстве до тех пор, пока она не займёт частное положение относительно плоскостей проекций.

 

Эффективным приёмом, упрощающим решение задач, связанных с определением метрических характеристик плоских фигур, является способ вращения этих фигур вокруг их линий уровня. Путём такого вращения можно плоскость, которой принадлежит рассматриваемая фигура, повернуть в положение, параллельное плоскости проекции.

 

(Сущность способа в том, что путём вращения вокруг линий уровня плоскость, в которой расположена фигура, переводится в положение, параллельное той плоскости проекций, которой параллельна прямая частного положения (линия уровня)).

 

При этом плоская фигура будет без искажения проецироваться на эту плоскость проекций.

 

При вращении вокруг горизонтали плоская фигура переводится в положение, параллельное плоскости H, при вращении вокруг фронтали в положение, параллельное плоскости V. Точка A при вращательном движении перемещается по дуге (окружности), расположенной в плоскости, которая перпендикулярна оси вращения. Центр окружности будет находиться на оси вращения, а величина радиуса равна расстоянию от точки до оси вращения.

18) способ замены плоскостей проекций. Замена одной и двух плоскостей проекций. Перевод плоской фигуры из общего положения в положение, параллельное одной из плоскостей проекций способом замены плоскостей проекций. Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

 

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

19) Метрические задачи. Понятия и определения. Общие свойства проекций плоских углов. Определение действительной величины плоского угла по его ортогональным проекциям.

 

Метрическими называют задачи, в условии или решении которых присутствуют геометрические образы или понятия, связанные с численной харак­теристикой.

 

Различают две основные метрические задачи:

 

- ОМЗ-1 (задачи о перпендикулярности),

 

- ОМЗ-2 (задачи об определении натуральных величин).

Примерами ОМЗ-2 являются задачи на:

 

- определение натуральной величины отрезка прямой;

 

- определение расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми;

 

- определение истинной величины треугольника и других плоских фигур;

 

- определение расстояния от точки до плоскости;

 

- определение натуральной величины углов.

 

Угол - геометрическая фигура, состоящая из двух различных лучей, выходящих из одной точки. Углом между прямыми называется меньший из двух углов между лучами, параллельными этим прямым. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между прямой и её проекцией на данную плоскость.

 

Рассмотрим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов:

 

1. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, то на эту плоскость прямой угол проецируется без искажения (Теорема о проецировании прямого угла) 2. Если проекция угла представляет угол 900, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций (рис. 3.26).

 

3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна по величине проецируемому углу.

 

4. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.

 

5. Если стороны угла не параллельны плоскости проекций, то угол на эту плоскость проецируется с искажением. Определение действительной величины плоского угла но его ортогональным проекциям

 

Решение задачи сводится к перемещению плоскости общего положения, которой принадлежит угол, в положение, параллельное какой- либо плоскости проекции. Такое перемещение можно осуществить с помощью методов преобразования ортогональных проекций.

 

Наиболее рациональный путь решения задачи по переводу плоскости угла в положение, параллельное плоскости проекции, достигается путем вращения плоскости угла вокруг линии уровня.

 

В этом случае для получения ответа на поставленную задачу достаточно произвести поворот только одной точки вокруг горизонтали или фронтали плоскости угла.

 

При использовании других способов преобразования нам пришлось бы дважды менять плоскости проекции либо дважды осуществлять перемещение (вращение), параллельное плоскости проекции, т.е. в обоих случаях потребовалось построение двух вспомогательных проекций.

20) Перпендикулярность прямых (на основании свойства проецирования прямого угла). Построение прямой, перпендикулярной прямой общего положения.

21) Признак перпендикулярности плоскостей. Алгоритм построения взаимно перпендикулярных плоскостей.

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны

22) Признак перпендикулярности прямой плоскости. Алгоритм построения прямой, перпендикулярной плоскости. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

23) расстояние между точкой и прямой, между двумя параллельными прямыми, между двумя скрещивающимися прямыми. Алгоритмы решения этих задач. Расстояние между прямой и точкой определяется величиной отрезка перпендикуляра опущенного на прямую. Алгоритм: провести через точку плоскость перпендикулярную прямой.(удобно задавать горизонталью и фронталью). Найти точку пересечения прямой с полученной плоскостью. Определить натуральную величину полученного отрезка. Расстояние между параллельными прямыми определяется величиной перпендикуляра, опущенного из точки, взятой на одной прямой, на другую прямую. На прямой n отмечаем произвольную точку N. Вращаем прямые тип вокруг оси i H(iN) до положения параллельного фронтальной плоскости проекций (n1n1) и (m1m1). Из точки N'' опускаем перпендикуляр NM на прямую m1. Определяем действительную величину [MN].

24) Алгоритм решения задачи по определению расстояния от точки до плоскости. Определение расстояния от точки до плоскости общего и частного положения. Расстояние от точки до плоскости определяется величиной отрезка перпендикуляра опущенного из точки на плоскость. Из точки А опустить перпендикуляр на плоскость( провести горизонталь и фронталь). Найти точку пересечения перпендикуляра с плоскостью. Определить натуральную величину отрезка[ АК].

25) расстояние между параллельными плоскостями. Алгоритм решения задачи. Построение плоскости, параллельной заданной и удаленной от нее на определенном расстоянии. Две плоскости параллельны, если две пересекающие прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся другой плоскости(если заданы следами две плоскости параллельны, если их параллельны следы).

26) Угол между прямой и плоскостью. Алгоритм решения задачи. Определение угла между прямой и плоскостью в случаях различного задания плоскостей на чертеже. Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на заданную плоскость. Алгоритм: выбрать на прямой произвольную точку (М). Через точку провести прямую перпендикулярную плоскости (для этого строим в плоскости горизонталь и фронталь). Определить величину угла между прямой и перпендикуляром. Из всего угла(альфа минус фи).

27) угол между двумя плоскостями. Алгоритмы решения задачи по определению угла между двумя плоскостями при известной линии пересечения и в случае если она неизвестна. Угол между плоскостями определяется величиной линейного острого угла между перпендикулярами прямой пересечения плоскостей. Алгоритм: выбрать в пространстве произвольную точку. Из этой точки опустить перпендикуляр к каждой из плоскостей. Определить натуральную величину угла между этими углами. Если альфа получился острый меньше 90 градусов, то фи=альфа, если альфа больше 90градусов, то фи=180 минус альфа.

28)плоскость касательная к поверхности: понятие и определения. Нормаль к поверхности. Построение касательной к поверхности сферы, цилиндра, конуса. Плоскостью, касательной к поверхности, называется плоскость, определяемая двумя прямыми, касательными к двум пересекающимся линиям, принадлежащим этой поверхности. Прямая , проходящая через точку касания и перпендикулярная касательной плоскости , называется нормалью к поверхности. Отсюда нормальное сечение поверхности – это сечение плоскостью, проходящей через нормаль. Если в заданной точке поверхности можно построить единственную касательную, то такую точку называют обыкновенной. Если в точке можно построить несколько касательных, то такую точку называют особой. Особыми точками является вершина конической поверхности и точка на ребре возврата. В зависимости от вида поверхности плоскость может касаться поверхности в одной точке, по линии (прямой или плоской кривой) или, касаясь, может пересекать поверхность по некоторой линии. Каждая из этих точек имеет свое название. Если касательная плоскость имеет с поверхностью только одну общую точку, то все линии поверхности, пересекающиеся в этой точке, расположены по одну сторону от касательной плоскости. Такую точку называют эллиптической. Поверхности, у которых все точки эллиптические, являются выпуклыми криволинейными поверхностями. К ним относятся сфера, тор, эллипсоид, параболоид. Если касательная плоскость имеет с поверхностью общую прямую или плоскую кривую линию, то точки, принадлежащие этой линии, называются параболическими. Такие точки имеют цилиндр, конус, торс (касательная прямая), тор (касательная окружность ). Если касательная плоскость имеет с поверхностью общую точку, но при этом пересекает поверхность по двум линиям, то такую точку называют гиперболической. Следовательно, гиперболическая точка принадлежит линии, по которой касательная плоскость пересекает поверхность. Каждый отсек поверхности, все точки которой являются гиперболическими, имеют седлообразную форму (винтовые поверхности, косая плоскость).

29) развертка поверхности: понятия и определения. Основные свойства развертки поверхности. Построение развертки поверхности многогранника способом триангуляции. развёртка поверхности фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными. Основные свойства развертки: Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой; Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке; Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке; Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке; Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической. Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней поверхности с плоскостью. Так как все грани многогранной поверхности изображаются на развертке в натуральную величину, построение ее сводится к определению величины отдельных граней поверхности – плоских многоугольников. Существует три способа построения развертки многогранных поверхностей: 1. Способ нормального сечения; 2. Способ раскатки; 3. Способ треугольника. Построение точных разверток кривых развертывающихся поверхностей сложно и, как правило, не вызывается практической необходимостью. Поэтому обычно строят приближенные развертки поверхностей, вполне пригодные для практических целей. Основным способом построения приближенных разверток развертывающихся поверхностей (кроме цилиндрических) является способ триангуляции поверхности. Способ триангуляции состоит в том, что кривая поверхность заменяется многогранной поверхностью, состоящей из треугольных граней.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...