Главная Обратная связь

Дисциплины:






Комплексная плоскость



Основные определения

Комплексным числом z называется выражение вида z = x + jy, где х, у – действительные числа, j – «мнимая единица», j2 = -1.

Числох называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z, ау – мнимой частью z, y = Im z.

Если действительная часть комплексного числа равна нулю, х = 0, то такое число называетсячисто мнимым z = jy.Если мнимая часть равна нулю, то число отождествляется с действительным z = x.

Два комплексных числа z1 = x1 + jy1 и z2 = x2 + jy2 называются равными (z1 = z2), тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части (х1 = х2, у1 = у2). Понятие сравнения (больше-меньше) для комплексных чисел не вводится.

Два комплексных числа z = x + jy и , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Геометрическое изображение комплексных чисел

Комплексная плоскость

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Каждому комплексному числу z = x + jy можно сопоставить точку с координатами (х, у), и наоборот, каждой точке с координатами (х, у) можно сопоставить комплексное число z = x + jy. Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, называют комплексной плоскостью.

Например, изобразим на комплексной плоскости числа z1 = 2 + j, z2 = 3j, z3 = -3 + 2j, z4 = - 1 -j:

Изображение комплексных чисел точками плоскости

Однако, чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке О, а именно, комплексное число z = x + jy изображается радиус-вектором точки с координатами (х, у). В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:

Изображение комплексных чисел радиус-векторами

Пусть комплексное число z = a + jb изображается радиус-вектором. Длина этого вектора называется модулем числа z и обозначается |z|. Из рисунка очевидно, что

.

Модуль и аргумент комплексного числа

Угол, образованный радиус-вектором числа z с осью Ox, называется аргументом числа z и обозначается arg z . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне [-π; π] и называют это значение главным значением аргумента. У числа z = 0 аргумент не определен.

На рисунке arg z равен углу φ . Из того же рисунка очевидно, что

;

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

- если изображение числа z находится в первой или четвертой четверти;



- если изображение числа z находится во второй четверти;

arg z = arctg (b/a) - π - если изображение числа z находится в третьей четверти.

Пример:найти модуль и аргумент числа z = -1 + j:

;

(число находится во II четверти).





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...