Главная Обратная связь

Дисциплины:






Диференціальні рівняння першого порядку. Теорема про існування та єдиність розв’язку д. р. Задача Коші



Загальні поняття

Означення. Рівняння, що містить аргумент, невідому функцію та її похідні або диференціали, називається диференціальним рівнянням (д. р.).

В загальному вигляді д. р. може бути записане у формі

, (1)

яку ще називають неявною формою.

Означення. Найвищий порядок похідної або диференціала, що входить в д. р., називають порядкомцього диференціального рівняння.

Наприклад,

- д. р. першого порядку,

- д. р. другого порядку,

- д. р. третього порядку.

Якщо ж д. р. (1) можна розв’язати відносно старшої похідної, то отримаємо явну форму д. р.

(2)

 

Означення. Функція , яка має на деякому інтервалі похідні , і яка після підстановки разом з похідними до д. р. (1) або (2) перетворює його в тотожність називається розв’язком д. р. При цьому ще говорять, що функція задовольняє даному д.р.

Приклади

1. - це д. р. першого порядку. Його розв’язок можна знайти шляхом інтегрування

Цей розв’язок містить довільну сталу С. Надаючи сталій С різних значень, ми отримаємо сім’ю кривих (парабол, див рис. 3.1).

 
 

 

2. Розв’язком д. р. є функція .

Дійсно, знайдемо спочатку першу похідну , а тоді другу - . Підставимо в д. р. вирази і , отримаємо тотожність .

3. Розв’язком д. р. є також функція

,

де і довільні сталі величини.

Перевіримо. Знайдемо , . Підставимо і в д. р., отримуємо тотожність

.

4. По аналогії з прикладом 1 знайдемо розв’язок д. р.

.

Після інтегрування маємо

,

Після повторного інтегрування знаходимо

.

Задачу про знаходження розв’язку д. р. називають задачею інтегрування даного диференціального рівняння. Графік розв’язку д. р. називається інтегральною кривою.

З наведених прикладів бачимо, що розв’язок д. р. знаходиться неоднозначно, геометрично розв’язок д. р. може задавати сім’ю кривих на площині , як це видно з прикладу 1, де розв’язок залежить від однієї сталої величини С, це для д. р. першого порядку. З прикладів 3 і 4 бачимо, що розв’язки д. р. другого порядку можуть мати дві довільні сталі .

 

Диференціальні рівняння першого порядку. Теорема про існування та єдиність розв’язку д. р. Задача Коші





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...