Главная Обратная связь

Дисциплины:






Отчет по лабораторной работе №1



ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

 

Выполнил студент гр. 23424/1: Колупаев В. А.

(подпись)

 

 

 

Санкт-Петербург

2014г.

Цель работы: изучение прямых и итерационных методов решения систем алгебраических уравнений с позиций точности получаемых решений и сходимости итерационных процессов. Исследование проводится с использованием программы LinEqv.

1.Цель: сравнить между собой естественное и стандартное числа обусловленности матрицы а также - точное значение стандартного числа обусловленности с его оценкой, вычисленной процедурой DECOMP.

Тип матрицы Порядок матрицы Естественное число обусловленности Стандартное число обусловленности Оценка стандартного числа обусловленности
1.8667E+001 1.2667E+002 2.5200E+002 2.4000E+001 1.8000E+002 3.6400E+002 1.9333E+001 1.7045E+002 3.5100E+002
5.1902E+003 3.9725E+015 5.7370E+016 7.0029E+003 6.1769E+015 1.8689E+017 5.9474E+003 4.6684E+015 9.7087E+017

Вывод: Вне зависимости от обусловленности матрицы, с ростом ее порядка естественное и стандартное число обусловленности растут, а так же растет его оценка стандартного числа обусловленности. При решении систем методом Гаусса такое явление обусловлено необходимостью проведения большого количества округлений и операции деления и вычитания.

Для хорошо обусловленных матриц естественное и стандартное числа примерно равны, поэтому можно сказать, что эти числа можно равноправно использовать для определения обусловленности задачи.

Касательно матриц с плохой обусловленностью (№11) можно заметить, что оценка стандартного и естественное числа с ростом порядка перестают быть примерно равными, в отличие от матриц с хорошей обусловленнстью.

2.Цель: оценить точность решений, получаемых методом исключения Гаусса для систем с одинаково хорошо обусловленными матрицами порядка от 3 до 15; провести анализ точности, как функции порядка матрицы; сравнить фактически получаемую ошибку с ее оценками.

Условия эксперимента: используются хорошо обусловленные матрицы порядка от 3 до 15.

 

Тип матрицы Порядок матрицы Фактическая ошибка Оценка ошибки
3.6848E-016 6.1243E-014 1.5580E-012 3.784E-016 1.022E-013 1.895E-011
7.7625E-017 2.2427E-015 4.4626E-015 8.273E-015 1.144E-014 6.671E-014

При вводе точного решения фактическая ошибка равна нулю.



Вывод: для систем с хорошо обусловленными матрицами фактическая ошибка очень мала, что говорит о большой точности решения. С ростом порядка матрицы получаем совсем небольшой рост значения ошибки, что соответствует теории. Оценка фактической ошибки решения, полученная процедурой DECOMP, имеет несколько завышенный результат по сравнению с действительной ошибкой вычисления.

3. Цель: оценить точность решений, получаемых методом исключения Гаусса для систем с одинаково плохо обусловленными матрицами порядка от 3 до 15; провести анализ точности, как функции порядка матрицы; сравнить фактически получаемую ошибку с ее оценками.

Условия эксперимента: используются плохо обусловленные матрицы порядка от 3 до 15.

Тип матрицы Порядок матрицы Фактическая ошибка Оценка ошибки
7.0003E-014 4.1006E-002 вырождена 2.427E-010 1.188E+002 вырождена
4.7373E-014 7.1789E-004 вырождена 4.073E-002 1.882E+004 Вырождена

Системы с плохо обусловленными матрицами №12 при порядке > 6, являются вырожденными. Для систем №11 при порядке > 10 система также является вырожденной.

Вывод: с ростом порядка плохо обусловленных матриц ошибка быстро увеличивается, что приводит к вырождению матрицы. Оценка фактической ошибки решения, полученная процедурой DECOMP, имеет несколько завышенный результат по сравнению с действительной ошибкой вычисления.

4.Цель: оценить точность решений, получаемых методом исключения Гаусса для систем одного порядка, но различной обусловленности (от «очень хороших» до «очень плохих»). Результаты анализа представить в виде зависимости относительной точности решения от числа обусловленности. Обратить внимание на величину нормы вектора невязки и проследить ее зависимость от обусловленности системы и связь с фактической ошибкой решения.

Условия эксперимента: используются матрицы различной обусловленности порядка 6.

Тип матрицы Фактическая ошибка Оценка ошибки Норма вектора невязки Оценка стандартного числа обусловленности
5.9212E-016 9.529E-015 1.7764E-014 1.3589E+002
5.0627E-016 2.137E-015 1.3772E-013 1.3579E+001
6.8096E-008 2.812E-003 8.2712E-014 3.0612E+013

 

Вывод: для систем одного порядка, но различной обусловленности, точность решения методом исключения Гаусса уменьшается с ростом числа обусловленности (от «очень хороших» до «очень плохих» матриц), о чём говорит рост фактической ошибки. Причём чем более резко растёт стандартное число обусловленности, тем более резко растёт величина фактической ошибки.

Что касается нормы вектора невязки, то здесь явно прослеживается отсутствие какой-либо связи с фактической ошибкой решения. То можно объяснить тем, что «ошибка решения складывается из суммы неопределенность модели + неопределенность исходных данных + ошибки вычислений», и т.к. от нормы вектора невязки зависит только ошибка вычислений, которая много меньше неопределённости модели и неопределённости исходных данных, то вклад величины нормы вектора невязки в фактическую ошибку незначителен.

6. Цель: для 2-3 задач с «хорошей» матрицей (стандартная обусловленность = 102-104) посредством внесения в матрицу системы возмущений различной величины сделать заключение о приемлемой для получения требуемой (наперёд заданной) точности решения степени неопределённости в задании исходных данных.

Условия эксперимента: используются хорошо обусловленные матрицы порядка 5.

 

 

Возмущения типа М:

Тип До внесения После внесения
Оценка по числу обусловленности Фактическая ошибка Оценка по числу обусловленности Фактическая ошибка Составная формула оценки M
2.345E-015 1.3324E-015 1.579E-010 1.3625E-010 3.6072E-011
0.000E+000 2.0572E-016 3.509E-011 1.7667E-011 5.1140E-011

Возмущения типа Р:

Тип До внесения После внесения
Оценка по числу обусловленности Фактическая ошибка Оценка по числу обусловленности Фактическая ошибка Составная формула оценки P
2.345E-015 1.3324E-015 4.201E-011 1.1543E-011 2.0329E-011
0.000E+000 2.0572E-016 3.950E-011 2.305E-011 1.7820E-011

Вывод: внесение в хорошо обусловленную матрицу возмущения различных типов показало, что это невыгодно, т.к. уменьшается точность решения, увеличивается фактическая ошибка.

7. Цель: повторить эксперимент п.6 для 2-3 задач с плохо обусловленной матрицей.

Условия эксперимента: используются плохо обусловленные матрицы порядка 5.

Возмущения типа М:

Тип До внесения После внесения
Оценка по числу обусловленности Фактическая ошибка Оценка по числу обусловленности Фактическая ошибка Составная формула оценки M
3.672E-009 8.7840E-010 3.120E+001 3.1316E+001 3.732E-001
5.462E-004 8.4091E-008 1.168E-001 9.6806E+000 3.9461E-007

Возмущения типа Р:

 

Тип До внесения После внесения
Оценка по числу обусловленности Фактическая ошибка Оценка по числу обусловленности Фактическая ошибка Составная формула оценки P
3.672E-009 8.7840E-010 3.670E-006 9.3069E-007 1.5012E-006
5.462E-004 8.4091E-008 2.329E-006 6.8302E-007 2.1964E-006

Вывод: внесение возмущения в плохо обусловленные матрицы практически не оказывает никакого влияния на точность решения, но при этом очень сильно увеличивается фактическая ошибка решения.

8. Цель: выполняя п.п. 6 и 7 , исследовать работоспособность различных методов оценки ошибок решения при наличии возмущения левой части системы.

Вывод: в системы с матрицами с хорошей обусловленностью в п.6 были внесены возмущения порядка 108 степени - ошибка увеличилась, соответственно уменьшилась точность решения. Внесение возмущений порядка 1013 в системы с матрицами с плохой обусловленностью на несколько порядков уменьшило ошибку. Оценка ошибки решения по составной формуле оценки Р даёт более приближённое к фактической ошибке значение. Т.о. можно сказать, что данная оценка проявляет лучшую работоспособность по сравнению с оценкой по составной формуле М для плохих матриц.

9.Цель: применить для решения нескольких систем из пунктов 2-4 итерационные методы Якоби и Гаусса-Зейделя; проверить реализацию задаваемого критерия точности. Исследованием спектра матрицы В проверить выполнение теоремы сходимости стационарного метода; выявить взаимосвязь скорости сходимости итерационного процесса с величиной спектрального радиуса матрицы В.

Условия эксперимента: используются матрицы различных типов обусловленности порядка 5 , желаемая точность решения задаётся равной 1.0Е-05:

№ матрицы Якоби Гаусса-Зейделя  
Спектр. радиус   Число итераций Спектр. радиус   Число итераций
2.7942 0.7500
3.4442 0.999956
0.0148
5.2068 2.5831

 

Вывод: Как видно из полученных результатов, сходимость данных итерационных методов наблюдается при |λmax|<1 (причем, чем ближе значение максимально собственного числа к 1, тем большее число итераций требуется для получения заданной точности), что согласуется с теоремой о сходимости стационарных методов. Также в ходе исследования, метод Гаусса-Зейделя проявил себя лучше чем метод Якоби, т.к. дал результаты в большем числе случаев, и, кроме того, число итераций при решении методом Гаусса-Зейделя было не больше, чем с помощью метода Якоби.

 

10.Цель: провести исследование влияния вида доминирования матрицы задачи на сходимость процедур Якоби и Гаусса-Зейделя.

Условия эксперимента: используются матрицы порядка 3, изменяется вид доминирования.

Матрицы:

- с диагональным доминированием

А=

- с «почти» нижнетреугольным доминированием

В=

- без доминирования

С=

D=

- с разреженными коэффициентами

F=

 

Матрица Якоби Гаусса-Зейделя
|λmax| Число итераций Фактическая ошибка |λmax| Число итераций Фактическая ошибка
A 2.1353E-002 4.0879E-009 5.6569E-004 1.0755E-012
B 1.6670E-001 5.2992E-007 1.7356E-002 0.0000E+000
C 4.6506E+000 9.2991E+006 6.0000E+000 0.0000E+000
D 4.1893E+001 1.5692E+042 1.4755E+003 7.1722E+034
F - - - -

Вывод: сходимость итерационных методов во многом определяется доминированием матрицы системы. Оба метода дают решение с высокой точностью, за исключением матриц без доминирования. Лучше всего сходимость происходит при диагональном и нижнетреугольном доминировании (|λmax|<1). В ходе исследования метод Гаусса-Зейделя проявил себя лучше, чем метод Якоби, т.к. он дал меньшую фактическую ошибку и соответственно большую точность решения. Однако для разреженных матриц оба метода не дали результатов. Треугольные и диагональные матрицы дают спектральный радиус матрицы В близкий к нулю, а, следовательно, большую скорость сходимости.

При изменении вида доминирования в данной последовательности число итераций для достижения заданной точности (1.0Е-05) для метода Якоби растёт. Число итераций для этой точности для метода Гаусса-Зейделя меньше, чем для метода Якоби.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...