Главная Обратная связь

Дисциплины:






Действия над комплексными числами в тригонометрической форме



1) Умножение.

Пусть два числа заданы и в алгебраической и в тригонометрической формах: z1 = a1 + b1i = r1 (cos φ1 + i sin φ1),

z2 = a2 + b2i = r2 (cos φ2 + i sin φ2).

На основании исходного определения правила умножения и формулы косинуса и синуса суммы получаем:

zz2 = r1 · r2 (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)); r1 · r2>0.

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1

2º. Ассоциативность: (z1z2) z3 = z1 (z2 z3).

Пример 9. Найти произведение комплексных чисел

z1 = 2cos 50º + 2 i sin 50º, z2 = cos 40º + i sin 40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z1 = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z2 = 1· (cos 40º + i sin 40º). Тогда

z1 · z2 = 1· 2 · (cos (50º + 40º) + i sin (50º + 40º)) = 2(cos 90º + i sin 90º) = = 2(0 + i) = 2i.

 

2) Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

Деление в поле комплексных чисел на числа, отличные от нуля, всегда выполнимо. Если числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2), причем z1 ≠ 0, то комплексное число является частным чисел z1 и z2 (то есть z1y = z2).

Пример 10. Найти частное комплексных чисел z1 = 2cos50º + 2i sin50º, z2 = cos40º + i sin40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z1 = 2 · (cos50º + i sin50º), z2 = 1· (cos40º + i sin40º).

Тогда (cos (50º - 40º) + i sin (50º - 40º)) = 2(cos10º + i sin10º).

 

3) Возведение в степень.

Определение. n – ой степенью комплексного числа z называется комплексное число, получающееся в результате умножения числа z самого на себя n раз.

Число z называется основанием степени, а натуральное число n – показателем степени.

Возвести комплексное число в n – ую степень можно по формуле:

z n = (r n) [cos (nφ) + i sin (nφ)].

Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n Î N.

Пример 11. Вычислите (1 + i)100.

Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.

a = 1, b = 1.

.

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i)100 = [ (cos + i sin )]100= ( )100 (cos ·100 + i sin ·100) = = 250(cos 25π + i sin 25π) = 250(cos π + i sin π) = - 250.

 

4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:



если b > о, то ;

если b < о, то .

Так как из комплексного числа всегда можно извлечь квадратный корень, то любое квадратное уравнение всегда будет иметь решения во множестве комплексных чисел. Решения квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 можно найти по известной формуле:

.

Пример 12. Вычислите .

Так как b < о, то воспользуемся формулой

.

= ,

= .

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...