Дисциплины:
Следующий ранг будет 5.
Окончательно ранжированный ряд выглядит следующим образом:
| Значение признака | |||||||
| Ранг |
Сумма рангов: Σ = 28.
Пример 2. В таблице указан возраст и экзаменационные оценки 8 мальчиков одного года обучения
| Ученик | А | В | С | D | Е | F | G | Н |
| Возраст (год - месяц) | 16- | 16-11 | 16- | 16- | 16- | 16- | 16- | 16-9 |
| Экзаменационная оценка |
Рассчитайте коэффициент корреляции рангов Спирмена между возрастом и экзаменационной оценкой. Прокомментируйте результат.
Решение. Прежде всего проведем «ранжирование» по возрасту и экзаменационным оценкам, т.е. расположим их по величине. Обычно ранжирование проводится от большего значения к меньшему.
| Ученик | А | В | С | D | Е | F | G | Н | Σ |
| Возраст (год - месяц) | 16-2 | 16-11 | 16-4 | 16-2 | 16-3 | 16-3 | 16-1 | 16-9 | |
| Ранг по | 61/2 | 61/2 | 41/2 | 41/2 | |||||
| возрасту | |||||||||
| Ранг по эк- | 41/2 | 4 '/2 | |||||||
| заменацион- | |||||||||
| ным оценкам | |||||||||
| Экзаменаци- | |||||||||
| онная оценка | |||||||||
| Разность | +2 | -1 | +2 | -11/2 | -21/2 | +2 | -1 | +6 - 6=0 | |
| рангов | |||||||||
| D2 | 2,25 | 6,25 | 22,5 |
Коэффициент корреляции рангов Спирмена =1- 
Комментарий. Значение коэффициента 0,7321 говорит о наличии положительной корреляции между возрастом и экзаменационной оценкой: чем старше ученик (в рамках одного года), тем лучше он сдает экзамен.
Отрицательная корреляция
Пример 3. Двое судей ранжировали 6 игроков в бадминтон следующим образом:
| Игрок | А | В | С | D | Е | F |
| Судья X | ||||||
| Судья Y |
Рассчитайте коэффициент корреляции рангов Спирмена и прокомментируйте результат.
Решение. Исходные данные уже ранжированы, поэтому сразу переходим к вычислению разностей между рангами.
| Разность рангов | -4 | -1 | -4 | +4 | +1 | Σ = +9-9 = 0 | |
| D2 | Σ = 66 |
| Коэффициент корреляции рангов Спирмена |
=1-
=1- 
=1-1.8857=-0.8857
Комментарий. Значение коэффициента -0,8857 говорит о наличии отрицательной корреляции: налицо несогласованность мнений двух судей.
Полная положительная корреляция
Когда результаты двух ранжирований полностью совпадают, коэффициент ранговой корреляции равен +1.
Пример 4. В таблице приведены результаты ранжирования 6 теннисистов двумя судьями.
| Игрок | А | В | С | Е | Р | |||||
| Судья М | Σ=21 | |||||||||
| Судья N | Σ=21 | |||||||||
| Разность рангов | Σ = 0 | |||||||||
| D2 | Σ=0 | |||||||||
| 6x70 6(36-1) |
Коэффициент корреляции рангов Спирмена =1-
=+1 точно.
Полная отрицательная корреляция
Когда результаты двух ранжирований полностью различаются, коэффициент ранговой корреляции равен -1.
Пример 5. В таблице приведены результаты ранжирования 6 игроков в поло двумя судьями.1
| Игрок | А | В | С | В | Е | Р | |
| СудьяP | Σ=21 | ||||||
| Судья Q | Σ =21 |
| Разность рангов | -5 | -3 | -1 | +1 | +3 | +5 | Σ -9+9=0 |
| D2 | Σ =70 |
| 6x70 6(36-1) |
Коэффициент корреляции рангов Спирмена =1-
= 1 -2 = -1 точно.
Корреляция рангов является лишь грубой оценкой
Может случиться, что ранговый коэффициент корреляции свидетельствует о полной корреляции, тогда как в действительности корреляция оказывается меньшей.
Пример 6.
| Ученик | А | В | С | D | Е | F |
| Оценка по математике | ||||||
| Оценка по физике | ||||||
| Ранг оценок по математике | ||||||
| Ранг оценок по физике |
Результаты ранжирования оценок согласуются полностью, следовательно, ранговый коэффициент корреляции равен +1.
Однако по диаграмме рассеивания мы видим, что в действительности корреляция меньше +1.
ЗАДАНИЕ 1.
Укажите, какой из вариантов, представленных буквами A, B, C, D, E, является, по вашему мнению, правильным.
В каждом вопросе определите ранг первого значения (ранжирование осуществляется от наибольшего значения к наименьшему).
| Вопрос | Варианты ответов | |||||
| A | B | C | D | E | ||
| Вопросы 1-10 НЕ включают связные ранги. | ||||||
| 84,76,95,96,80,71,56 49,23,37,20,32,31,18 65,72,68,63,69,62,60 36,31,38,29,21,27,35 41,52,49,40,47,53,39 29,83,79,65,38,49,60 16,18,15,10,12,19,17 26,38,20,36,38,35,29 75,78,72,68,65,76,61 61,68,58,66,42,64,67 | ||||||
| Вопросы 11-20 включают связные ранги. | ||||||
| 25,22,18,18,12,25,21 47,41,25,49,39,39,47 56,19,54,50,59,13,54 70,67,76,56,71,45,70 76,70,57,89,76,69,76 85,73,91,85,68,85,80 82,79,74,82,60,85,90 75,62,86,68,87,70,75 43,39,47,43,48,37,45 64,62,91,76,60,47,87 | 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 | 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 | 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 |
Аудиторный тест
Решите, какой из вариантов ответов, представленных буквами A, B, C, D, E, является, по вашему мнению, правильным.
Если вы не знаете ответ, воспользуйтесь символом «?» (вместо угадывания или копирования чужого ответа). Это позволит преподавателю помочь вам.
ЗАДАНИЕ 2.
1. В ходе сельскохозяйственного эксперимента вся посевная площадь была поделена на десять равных квадратных участков. Затем было подсчитано количество двух видов растений с кодовыми названиями Х и Y, произрастающих на каждом квадрате. Результаты приведены в таблице.
| Участок | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| Растение Х | ||||||||||
| Растение Y |
(1) рассчитайте коэффициент корреляции рангов Спирмена между числом растений Х и числом растений Y.
(2) Прокомментируйте результат.
(3) Определите коэффициент линейной корреляции.
(4) Постройте диаграмму рассеивания.
(5) Постройте прямую регрессии Y на Х.
Модель однофакторной двумерной (однофакторной или параллельной) регрессии имеет вид:
,
Величина переменной 
состоит из двух составляющих:
1) неслучайной составляющей 
;
2) случайной составляющей 
Знак коэффициента регрессии 
в модели показывает направление связи (если 
, связь прямая, если 
, то связь обратная). Величина показывает, на какую величину в среднем измениться результат 
, если фактор 
увеличить на одну единицу своего измерения.
Формально значение параметра 
в модели – среднее значение при 
. Ели фактор не имеет и не может иметь нулевого значения, то выше указанная трактовка параметра не имеет смысла.
В матричной форме двумерная регрессионная модель имеет вид:
,
где 
- случайный вектор-столбец размерности ( 
) наблюдаемых значений результатов признака;
- матрица размерности ( 
) наблюдаемых значений факторных признаков. Дополнительный фактор 
связан с наличием в уравнении регрессии свободного члена ( ). Значение фактора ( ) для свободного члена принято считать равным единице;
- вектор-столбец размерности (2×1) неизвестных, подлежащих оценке параметров модели (коэффициент регрессии);
- случайный вектор-столбец размерности ( ) ошибок наблюдений;
Рассмотрим пример. Пусть имеются данные о заработной плате и возрасте по 20 рабочим. Требуется построить регрессионную модель заработной платы рабочего. Тогда 
- заработная плата i-ого рабочего ($); 
- возраст i-ого рабочего (лет), i=1; 20. Исходные данные приведены в таблице 1.
Таблица 1
| i | y | xi | i | yi | xi |
Для нашего примера параметры линейной парной модели регрессии интерпретируются следующим образом. Параметр показывает, на сколько долларов в среднем изменится заработная палата рабочего при увеличении возраста на 1 год. Параметр не интерпретируется, т.к. возраст рабочего не может быть равен 0 лет.
В матричной форме регрессионная модель имеет вид:
, где
Рассмотрим пример: по данным о заработной плате и возрасте 10 рабочих (см. таблицу 1) оценить параметры линейной парной регрессии методом наименьших квадратов.
Расчет оценки коэффициента регрессии сведем в таблицу 2.
Таблица 2
| № наблюдения | x – возраст рабочего, лет | y – заработная плата за месяц, $ | x*y | 
|
| 590,49 1874,89 1705,69 2143,69 542,89 1705,69 979,69 979,69 1108,89 1789,29 | ||||
| Сумма по столбцу | 1272б,55 | |||
| Среднее значение | 35,65 | 63,63 |
Тогда линейная парная регрессия, описывающая зависимость заработной платы от возраста рабочего:
.
То есть с увеличением возраста рабочего на 1 год его заработная плата в среднем повышается 7,23 руб.