Дисциплины:
Размещения из n элементов по m
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ
«ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНІЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Методические указания и варианты
к индивидуальному заданию по курсу
«ОДМ, часть 1»
для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Компьютерные науки»
Донецк-2010 Комбинаторный анализ
Тема1
Основные понятия комбинаторики: соединения без повторений
Правила суммы и произведения
Важную роль при решении многих комбинаторных задач играют правила суммы и произведения.
Сформулируем эти правила с точки зрения теории множеств и комбинаторики.
Правило суммы
Теоретико-множественная формулировка правила суммы
Пусть A и B – конечные множества, | A | = m; | B | = n; A Ç B = Æ. Тогда объединение множеств: A È B содержит m + n элементов.
В общем случае.
Пусть | M1 | = m1, | M2 | = m2 , … , | Mk | = mk и Mi Ç M j = Æ,
" i,j=1.. k, i ¹ j. Тогда, | M | = | M1 È M2 È … È Mk | = m1 + m2 +…+ mk.
Комбинаторная формулировка правила суммы
Если объект a может быть выбран m способами, а объект b – n другими способами, то выбор "a или b" может быть осуществлен m + n способами. Выбор a и b – взаимоисключающий: выбор a исключает выбор b; выбор a не совпадает с каким-либо способом выбора b.
В общем случае.
Если объект a1 может быть выбран m1 способами; a2 – m2 cпособами; … ; ak – mk способами. Выбор "a1 или a2…или ak " может быть осуществлен m1 + m2 + … + m k способами.
Например:
Из Киева в Донецк в течение суток отправляется 3 поезда, 1 самолет и 2 автобуса. Сколько существует способов выехать из Киева в Донецк?
Решение:
По правилу суммы имеем N= 3+1+2 = 6 способов.
Правило произведения
Теоретико – множественная формулировка правила произведения
Если A и B – конечные множества и | A | = m, | B | = n, то мощность множества A´B равна m´n.
В общем случае.
Если | M1 | = m1, | M2 | = m2, … , | Mk |=mk, то | M1 ´ M2 ´ … ´ Mk | = m1´m2´…´mk.
Комбинаторная формулировка правила произведения
Если объект a может быть выбран m способами, и после этого объект b может быть выбран n способами, то выбор пары (a, b) может осуществляться m´n способами (выбор a и b независимы).
В общем случае.
Пусть объект a1 может быть выбран m1 способом, объект a2 – m2 способами; объект ak – mk способами, причем выбор a1 не влияет на число способов выбора a2, … ,ak, выбор a2 на число способов выбора a3, … ,ak и т.д. Тогда, выбор упорядоченного множества объектов (a1, a2 …ak) – в указанном порядке можно осуществить m1´ m2´… ´mk способами.
Например:
Сколько различных танцующих пар можно составить из 3-х девушек и 2-х юношей?
Решение:
Число способов выбрать одну девушку из трех равно 3, при каждом способе выбора девушки число способов выбрать юношу постоянно и равно 2.По правилу произведения имеем N = 3´2 = 6 пар.
Сложный выбор объектов
Часто в комбинаторных задачах выбор объектов происходит в несколько ступеней, на некоторых работает правило суммы, на других – правило произведения. При сложном выборе объектов важно обеспечить полный перебор всех возможных случаев.
Например:
Имеется три различных флага. На флагштоке поднимается сигнал, состоящий не менее, чем из 2-х флагов. Сколько различных сигналов можно поднять на флагштоке, если порядок сигналов учитывается?
Решение:
Сигнал может состоять либо из 2-х флагов, либо из 3-х. Одновременное выполнение 2-х действий невозможно. Пусть N – общее число способов поднять сигнал, состоящий не менее, чем из 2 флагов; N2 – число способов поднять сигнал, состоящий ровно из 2 флагов; N3 – ровно из 3 флагов.
По правилу суммы имеем: N = N2 + N3 . Далее N2 и N3 находим по правилу произведения:
N2=3´2=6;
N3=3´2´1=6.
В итоге имеем: N=12.
Соединения без повторений
Соединения – простые комбинаторные объекты, к которым относятся перестановки, сочетания и размещения.
Перестановки
Перестановка из n элементов – упорядоченная последовательность элементов n-элементного множества (кортеж).
Различные перестановки отличаются только порядком элементов в них.
Определим 0!=1
Пусть A = {1,2,3}.Число различных перестановок равно 3!=6.
Сгенерируем все перестановки во множестве A:
{123, 132, 213, 231, 312, 321}.
Например:
1) Число способов стать в очередь за стипендией из 17 человек?
P17=17!
2) Сколькими способами можно расставить на полке 5 книг?
P5=5!
3) Сколько различных слов можно образовать, переставляя буквы в
слове “ковш”?
P4=4!
Размещения из n элементов по m
Размещения – упорядоченная последовательность из m элементов множества, содержащего всего n элементов.
Различные размещения отличаются составом элементов и (или) порядком
их следования.
Пусть A={1,2,3}. Сгенерируем всевозможные размещения из 3 по 2:
{12, 21, 13, 31, 23, 32}.
Например:
1) Сколькими способами можно расставить на полке 5 книг из 7?
Решение:
Поскольку порядок книг на полке имеет значение, то число способов
равно 
.
1) Сколько различных четырёхсимвольных идентификаторов можно получить в алфавите {A,B,C,D,E}.
Решение:
С учетом того, что порядок символов в идентификаторе имеет значение, получим 
.
Замечание: Формула 
верна для всех m £ n.
При m = n 
.
Сочетания
Сочетания из n по m – последовательность из m элементов, взятых из n-элементного множества, без учета порядка следования элементов.
Сочетание– произвольное (неупорядоченное) m-подмножество из n элементов.
Различные сочетания отличаются составом элементов, но не их порядком.
1) 
Þ 
;
2) 
; 
; 
; 
при m £ 0 и m ³n .
3) Симметричность числа сочетаний: 
.
4) Правило Паскаля.
Для числа сочетаний из n по m справедливо следующее рекуррентное
соотношение: 
.
5) Бином Ньютона.
.
При a = x = 1, 
, 
,где
, k = 0,1… n - биномиальные коэффициенты.
Пусть A={1,2,3}. Сгенерируем всевозможные сочетания из 3 по 2:
{12, 31, 32}.
Например:
1) Сколькими способами можно выбрать 4 человека из 52 в президиум
собрания?
Решение:
Поскольку порядок выбора не имеет значения, получим:
.
2) Определить число способов, которыми можно выбрать 5 карт из 36 так, чтобы среди них были 3 карты одного достоинства?
Решение:
В колоде из 36 карт четыре масти и в каждой 9 достоинств (короли, тузы…). Число способов выбрать одно достоинство равно 9 или 
.
Тогда, число способов выбрать 3 карты одного достоинства равно 9* 
Оставшиеся две карты могут быть любыми из 33 карт, то есть 
. По правилу произведения имеем: · · .
Основные понятия комбинаторики: соединения с повторениями
До сих пор рассматривали соединения из множеств, состоящих из различных элементов. Часто на практике имеют место случаи, когда среди рассматриваемых элементов есть одинаковые.
Пусть дано множество А, состоящее из n элементов, в котором n1 элементов принадлежит первому типу; n2 элементов принадлежит второму типу элементов, nk - k-тому типу. Элементы одного и того же типа неразличимы между собой.
Спецификацией множества А называется набор (n1, n2, … ,nk).
 |
Следствие:
Если множество А, | А | = n, состоит из объектов 2 типов: m-одного типа, (n – m) –другого:
.
В общем случае:
.
Например:
Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры числа 12341234?
Решение:
В числе 8 цифр: две-“1”; две-“2”; две-“3”; две-“4”. 
.
Например:
Сколько различных перестановок можно образовать из всех букв слова “Миссисипи”?
Решение:
Всего в слове 9 букв, из них – 4 буквы “и”, три буквы ”с”, одна буква ”м” и одна буква ”п”. 
.
Размещения с повторениями
(m перестановки с неограниченными повторениями)
Пусть А = {a1, a2,…, an} , где a1, a2,…, an – “представители” 1-го, 2-го, … n-го типа элементов. Объектов каждого типа имеется в неограниченном количестве, элементы одного типа неразличимы между собой. Рассмотрим следующую схему выбора упорядоченной последовательности из m элементов: выбираем элемент на 1-е место, имеется n вариантов выбора. После этого элемент возвращается обратно и может быть выбран еще, т.е. на 2-е место имеется n претендентов и т.д. На m-е место также имеется n претендентов.
 |
Например:
Сколько различных сигналов могут дать 4 светофора одновременно?
Решение:
Число различных сигналов на одном светофоре равно 3. Разные светофоры могут подавать одинаковые сигналы. Тогда, N- число различных сигналов, равно числу различных размещений с повторениями из 3 по 4:
.