ТЕМА 8: СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

Методические указания и решение типовой задачи

Совокупность наблюдений величины у в течение некоторого промежутка времени называют данными временного ряда или просто временным рядом. Наблюдения должны регистрироваться через одинаковые промежутки времени. В общем случае временные ряды не представляют собой случайную выборку и требуют специальных методов для их исследования. Временные ряды количества отдыхающих в Пансионат «Кипарисный» являются уникальными. Корректно составленный временной ряд прогнозов поможет исключить некоторую неопределенность, связанную с будущим, и поможет руководству в поиске альтернативных стратегий развития.

В нашем случае внимание будет фокусироваться на модельном подходе к анализу временных рядов, который опирается, прежде всего, на имеющиеся данные, весьма важной является субъективная оценка самой попытки прогнозирования. Всякий раз, когда прошлое изучается для получения ключа к будущему, это будет уместно только в той мере, в которой прежняя причинная обусловленность будет сохраняться в последующие периоды. В экономической среде причинная обусловленность редко остается постоянной. Множество существующих причинных факторов склонно к непрерывным изменениям, поэтому взаимосвязь между прошлым, настоящим и будущим нуждается в постоянной переоценке.

Техника временных рядов предлагает концептуальный метод прогнозирования, который доказал свою несомненную полезность. Прогнозы делаются с соблюдением ряда специфических формальных процедур.

Для прогнозирования количества отдыхающих в Пансионат «Кипарисный» будем использовать декомпозицию временного ряда с тремя компонентами: трендом (компонента представляющая рост или спад), сезонностью (изменения, имеющие годовую цикличность, повторяющиеся из года в год) и нерегулярностью (непредсказуемые, случайные флуктуации). Модель может быть представлена аддитивной ( ) или мультипликативной зависимостью ( ). Модель аддитивных компонент используется в тех случаях, когда анализируемый временной ряд имеет приблизительно одинаковые значения на протяжении всей длительности ряда. Модель мультипликативных компонент используется в тех ситуациях, когда изменение временной последовательности увеличивается с ростом уровня. В нашем случае более адекватной моделью будет мультипликативная.

1. Оценка первой компоненты временного ряда – тренда

Тренд представляет собой долговременные изменения во временных рядах, которые иногда можно описать с помощью прямой лини или гладкой кривой.

Если представить тренд в виде прямой линии, то она будет описана уравнением (8.1)

(8.1)

где T – это расчетное значение временного ряда в момент времени t.

Символ t используется для независимой переменной, представляющей время и обычно принимающей целочисленные значения 1, 2, 3, … n, соответствующие последовательным периодам времени. Коэффициент наклона m является средним ростом или спадом Т для любого возрастания во времени за один период.

Пример линейного тренда представлен на рис. 8.1.

Рис.8.1. Линейный тренд [Ханк, с. 199]

Временное уравнение для тренда, включающее линейный тренд, может быть применено к данным на основе метода наименьших квадратов. В этом методе значения коэффициентов в уравнении для тренда (b и m в линейном случае) отбираются так, чтобы оцененное значение T было наиболее близко к реальному значению Y, которое измеряется с помощью сумм квадратов ошибок SS_ост (8.2):

(8.2)

Если представить тренд в виде гладкой кривой, то она может быть описана уравнением квадратичного тренда, показательного тренда, S – образных кривых роста: трендовой кривой Гомперца, логистической (Перла-Рида) трендовой кривой. Рассмотрим их подробнее.

Квадратичный тренд описывается уравнением (8.3)

(8.3)

Пример квадратичного тренда представлен на рис. 8.2.

Рис.8.2. Квадратичный тренд [Ханк, с. 200]

Показательный тренд описывается уравнением (8.4)

(8.4)

Пример показательного тренда представлен на рис. 8.3.

Рис.8.3. Показательный тренд [Ханк, с. 200]

Коэффициент m зависит от степени роста. Если показательный тренд сглаживает годовые данные, то предполагаемое увеличение роста будет 100(m -1)%.

Линейный тренд обычно переоценивает реальное возрастание в ранние годы и недооценивает поздние. Поэтому линейный тренд обычно моделирует реальное поведение хуже, чем квадратичный или показательный. Экстраполяция данных показательным трендом очень скоро даст большие числа. Что будет, если экономический рост замедлится? Прогнозы тренда, полученного с помощью показательной кривой, окажутся слишком завышенными.

Кривая роста Гомперца или кривая логистического типа (Перла-Рида) описывают общую тенденцию для многих отраслей промышленности и серий новых продуктов. Они отражают снижение темпов роста при вступлении в фазу зрелости. Кривые Гомперца и Перла-Рида внешне похожи, разница в наклоне. Однако формулы данных кривых достаточно сложны.

Многие функции тренда при экстраполяции на длительные промежутки времени могут давать существенные расхождения в результатах. Чтобы правильно выбрать функцию тренда можно использовать субъективную оценку и личный опыт или объективные критерии.

Информационный критерий Акаике (AIC) позволяет выбрать наилучшую модель из группы моделей-претендентов [Ханк, с. 490]. Согласно этому критерию, выбирается модель, которая минимизирует выражение (8.5)

(8.5)

где

ln – натуральный логарифм;

– остаточная сумма квадратов, деленная на количество наблюдений;

n – количество наблюдений;

r – общее количество слагаемых.

Согласно Байесовскому информационному критерию, разработанному Шварцем (BIC), отбирается та модель, которая минимизирует выражение (8.6) [Ханк, с. 490]

(8.6)

где

ln – натуральный логарифм;

– остаточная сумма квадратов, деленная на количество наблюдений;

n – количество наблюдений;

r – общее количество слагаемых.

Второе слагаемое в формулах (8.5) и (8.6) – это «штрафной фактор», учитывающий включение в модель дополнительных параметров. Критерий BIC накладывает большие ограничения на количество параметров в сравнении с критерием AIC. Поэтому минимизация критерия BIC при выборе модели всегда даст количество параметров, не превышающее количество параметров, устанавливаемое согласно критерию AIC. Часто оба критерия дают один и тот же результат.

Таким образом, для нашего исследования подходит метод прогнозирования тренда на основе временного ряда. Для его построения будут использоваться фактическое количество отдыхающих в Пансионат «Кипарисный» на ежемесячной основе за несколько последних лет (2001-2010гг.).

Для прогнозирования количества отдыхающих будем использовать данные, представленные в таблице 8.1.

Таблица 8.1.

Динамика отдыхающих в Пансионат «Кипарисный» за 2001-2010гг.

Поскольку показательный тренд при экстраполяции может существенно завышать значения, то воспользуемся линейным и квадратичным трендом (функция ЛИНЕЙН в Excel). Результаты расчетов представлены в таблице 8.2.

Таблица 8.2.

Дополнительная статистика по линейному и квадратичному тренду

Показатели	Линейный тренд	Квадратичный тренд
Переменные	m	b	m2	m1	b
Значения переменных	18,74541	371,7944	0,161935	-0,848711	770,208186
Стандартное значение ошибки для постоянной b	3,367969	234,79763	0,108148	13,508019	354,054428
Стандартная ошибка оценки y	1278,0101	1271,3368
F- статистика	30,97802	16,77306
Степени свободы
Регрессионная сумма квадратов
Остаточная сумма квадратов
AIC	19,11	19,11
BIC	19,16	19,18

Из таблицы 3.2. видно, что значение критериев Акаике (AIC) и Байеса (BIC) ниже для линейного тренда, следовательно, дальнейшие расчеты при прогнозировании количества отдыхающих будем проводить по формуле линейного тренда.

Рис. 8.4. Фактические данные и оценка линейного тренда количества отдыхающих в Пансионат «Кипарисный» за 2001-2010гг

.

На рис. 8.4. наблюдается рост во временном ряде в долговременной перспективе.

2. Оценка второй компоненты временного ряда – сезонности

При использовании модули мультипликативной декомпозиции существует популярный метод оценки сезонных вариаций, называемый отнесение к скользящему среднему. В этом методе тренд оценивается с использованием центрированного скользящего среднего в несколько этапов:

1) Начиная с первого члена ряда рассчитывается 12-месячная скользящая средняя, которая помещается рядом с июнем.

2) Рассчитывается двухгодичная скользящая сумма, которая помещается рядом с июлем.

3) Поскольку двухгодичная скользящая сумма уже содержит данные о 24 месяцах, то она делится на 24 для получения 12-месячного центрированного скользящего среднего.

4) Сезонный индекс получается в результате деления реального значения для июля на 12-месячное центрированное скользящее среднее.

Результаты расчетов сезонных индексов по этапам 1-4 представлены в таблице 8.3.

Таблица 8.3.

Данные о 12 месячном центрированном скользящем среднем для количества отдыхающих в Пансионат «Кипарисный» за 2001-2010гг.

5) После того, как получено несколько оценок (соответствующих разным годам) сезонных индексов для каждого месяца их надо обобщить. Как обобщенную меру лучше всего использовать медиану, поскольку она исключает влияние тех месячных значений, которые являются необычайно большими или маленькими.

Расчет медианы для сезонных индексов представлен в таблице 8.4.

Таблица 8.4.

Сводка сезонных индексов для количества отдыхающих в Пансионат «Кипарисный» за 2001-2010гг.

Для расчета подогнанного сезонного индекса был использован множитель равный 1,008714 (12/11,896).

Рассчитанные сезонные индексы представлены графически на рис. 8.5.

Рис. 8.5. Сезонные индексы временного ряда Пансионат «Кипарисный» за 2001-2010гг.

На рис. 8.5. сезонность очевидна. Каждый годичный период характеризуется сравнительно низким количеством отдыхающих с октября по апрель и относительно высоким их количеством с мая по сентябрь.

3. Оценка третей компоненты временного ряда – нерегулярности

После устранения тренда и сезонности получим нерегулярность.

Для сглаживания нерегулярностей можно использовать скользящее среднее. Чтобы исключить проблему центрирования при использовании метода скользящего среднего с четными временными периодами, нерегулярности сглаживаются по методу скользящего среднего с нечетным количеством периодов. Для месячных данных удобно использовать 5-, 7-, 9- или 11- периодическое среднее. В нашем случае использовано 11-периодическое скользящее среднее.

Результаты расчетов представлены в таблице 8.5.

Таблица 8.5.

Оценка нерегулярности скользящими средними для количества отдыхающих в Пансионат «Кипарисный» за 2001-2010гг.