Главная Обратная связь

Дисциплины:






Преподобный Томас Байес



Как же тогда мы можем видоизменить теорию информации, чтобы она учитывала различия в опыте и ожиданиях наблюдателей ? Нам нужно сохранить нашу идею, что информативность сообщения (или изображения) определяется его новизной и неожиданностью. Но теперь ее нужно дополнить новой идеей, что сообщение может для одного человека быть неожиданнее, чем для другого. Объективно новое и неожиданное сообщение можно определить как сообщение, меняющее наше представление о мире и, следовательно, наше поведение.

Сегодня вечером я собирался пойти на семинар по нейроэстетике, но его отменили. Вместо этого я могу пойти в бар. Там я встречаю профессора английского языка. На нее это сообщение никак не повлияло. Она никогда не ходит на нейробиологические семинары.

Мы можем также сказать, что информативность сообщения определяется степенью, в которой оно меняет наши убеждения[121] об окружающем мире. Чтобы узнать, какой объем информации содержится в сообщении, передаваемом получателю, нужно узнать, каковы были убеждения получателя до поступления этого сообщения. Тогда мы сможем увидеть, насколько эти убеждения изменились после того, как сообщение было получено. Но можем ли мы определить такие априорные убеждения и происходящие в них изменения?

Решение этой проблемы нашел человек, который будет, наверное, самым необычным из всех ученых, попавших на страницы этой книги. Преподобный Томас Байес (1702-1761) был пресвитерианским священником и за всю свою жизнь не опубликовал ни одной научной работы, хотя и стал в 1742 году членом Лондонского королевского общества. Только через два года после его смерти его классическая работа была наконец опубликована в "Философских трудах Королевского общества". После этого она больше ста лет пребывала в забвении. Только в двадцатых годах XX века слава Байеса начала расти. Для Рональда Фишера, бывшего тогда президентом Королевского статистического общества, Байес был настоящим кумиром, и в результате усердного лоббирования со стороны статистиков его в конце концов включили в "Национальный биографический словарь". И все же он оставался почти неизвестным за пределами круга тех, кто профессионально занимался статистикой. И даже те, кто слышал о байесовской статистике, часто считали, что ей не хватает должной объективности.

Рис. 5.5. Могила преподобного Томаса Байеса.

Томас Байес похоронен на кладбище Банхилл-Филдс в центре Лондона. В XVIII веке на этом кладбище хоронили нонконформистов[122], но теперь это общественный парк. Могила была отреставрирована в 1969 году, на средства "статистиков со всего мира".

Но в последние 10 лет Томас Байес стал суперзвездой. В сети есть множество сайтов, где объясняется теорема Байеса и сообщается: "Главное, что Байес крут, а кто не знает Байеса, тот не крут". А если вы не верите тому, что говорят в интернете, то, быть может, вас убедит New York Times за 20 января 2004 года?



"В научной среде байесовская революция вот-вот станет преобладающей точкой зрения, что 10 лет назад казалось немыслимым", - говорит Брэдли Карлин, профессор здравоохранения из Университета Миннесоты.

Из-за чего же возник весь этот ажиотаж?

Вот как формулируется теорема Байеса:

p(A|X) = p(X|A)·p(A)/p(X).

Возьмем некоторое явление (А), о котором мы хотим узнать, и наблюдение (X), которое дает нам какие-то сведения об A. Теорема Байеса говорит нам, насколько увеличится наше знание об A в свете новых сведений X. Нам незачем вникать в детали этого уравнения. Главное - что это уравнение дает нам именно ту математическую формулу убеждений, которую мы искали. Убеждению в данном случае соответствует математическое понятие вероятности. Вероятность позволяет измерить, в какой степени я убежден в чем-то. Если я в чем-то совершенно уверен (например, в том, что утром взойдет солнце), вероятность равна единице [в форме уравнения это можно выразить так: p(взойдет солнце) = 1]. А если я совершенно уверен, что что-то никогда не случится, вероятность равна нулю [p(Крис Фрит выиграет конкурс "Евровидение") = 0]. Большинство наших убеждений не так тверды и занимают промежуточное положение между нулем и единицей [p(поезд, на котором я езжу на работу, опоздает) = 0,5]. И эти промежуточные убеждения постоянно изменяются по мере того, как мы получаем новые сведения. Прежде чем ехать на работу, я уточню положение поездов Лондонского метро в интернете, и эти новые сведения изменят мое убеждение о вероятности опоздания поезда (хотя и ненамного...).

Теорема Байеса показывает, насколько именно изменится мое убеждение относительно A в свете новых сведений X. В приведенном выше уравнении p(A) - мое первоначальное или априорное, убеждение об A до поступления новых сведений X, p(X|A) - вероятность получения сведений X в случае, если A действительно будет иметь место, а p(A|X) - мое последующее, или апостериорное, убеждение об A с учетом новых сведений X. Все это станет понятнее на конкретном примере.

Вас, вероятно, удивило, почему это Брэдли Карлин, профессор здравоохранения из Университета Миннесоты, так интересуется теоремой Байеса. Дело в том, что здравоохранение - одна из тех многих областей, где теорема Байеса находит свое применение.

Рассмотрим проблему рака груди.[123] Обратимся к частному случаю, связанному с эффективностью массовых обследований. Мы знаем (это наше априорное убеждение), что к 40 годам у 1% женщин развивается рак груди (p(A) = 0,01). Кроме того, у нас есть хороший метод выявления рака груди - маммография (этот метод дает нам новые сведения). Результат маммографии будет положительным у 80% женщин с раком груди (p(X|A) = 0,8) и лишь у 9,6% женщин без рака груди (p(X|~A) = 0,096). Таковы вероятности получения наших сведений в случае, если наше убеждение истинно. Судя по этим цифрам, кажется очевидным, что регулярные обследования на предмет наличия рака груди - вещь хорошая. Итак, если мы обследуем всех женщин, то какова будет среди тех, у кого обследование даст положительный результат, доля тех, у кого действительно будет рак груди, то есть каково будет значение p(A|X)?

Учитывая, что этот метод кажется хорошим, каково будет ваше убеждение относительно женщины, для которой только что получен положительный результат маммографического обследования на рак груди? Большинство людей сказали бы, что у нее, скорее всего, рак груди. Но применение теоремы Байеса показывает, что это мнение ошибочно. Мы можем легко убедиться в этом, если на время забудем о вероятностях. Вместо этого давайте рассмотрим 10 000 женщин в возрасте 40 лет и старше.

Еще до обследования эти 10 000 женщин можно мысленно разделить на две группы:

Группа 1: 100 женщин с раком груди;

Группа 2: 9900 женщин без рака груди.

Группа 1 - этот тот 1% женщин, у которых развился рак: p(A)

После обследования женщин можно разделить на четыре группы:

Группа А: 80 женщин с раком груди и положительной маммографией;

Группа Б: 20 женщин с раком груди, но с отрицательной маммографией.

Группа В: 950 женщин без рака груди, но с положительной маммографией;

Группа Г: 8 950 женщин без рака груди и с отрицательной маммографией.

Группа А - это те 80% женщин с раком груди, у которых его выявляет маммография: p(X|A)





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...