Главная Обратная связь

Дисциплины:






ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ



Цель:

- сформировать навыки вычисления пределов на бесконечности;

- развить умение раскрывать неопределённости вида

- закрепить знания о способах деления многочлена на многочлен;

Материально – техническое обеспечение:методические указания по выполнению работы;

Время выполнения: 2 академических часа;

Ход занятия:

1. Изучить краткие теоретические сведения;

2. Выполнить задания;

3. Сделать вывод по работе;

4. Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.

Краткие теоретические сведения:

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим.

Определение 1: Число А называется пределом функции f(x) при х → ∞, если для любого положительного ε > 0, можно найти такое М > 0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству х > М выполняется неравенство | f(x) -А| < ε. Обозначение:

f(x) = А, если хn → ∞ при f(xn) →А.

Справедливы аналогичные теоремы:

Теорема 1. (f(x) ± g(x)) = f(x) ± g(x).

Теорема 2. (f(x) · g(x)) = f(x) · g(x).

Следствие 1. (С∙f(x)) = С ∙ f(x).

Следствие 2. С = С.

Определение 2: Функция называется бесконечно малой, если её предел при х→ а равен нулю и бесконечно большой, если её предел при х→ а равен бесконечности, т.е. если f(x) = 0, то f(x) - бесконечно малая и если f(x) = ∞, то f(x) - бесконечно большая.

Свойства бесконечно малых:

· Сумма конечного числа бесконечно малых функций — бесконечно малая функция.

· Произведение бесконечно малых функций — бесконечно малая функция.

· Произведение бесконечно малой функции на ограниченную — бесконечно малая функция. Как следствие, произведение бесконечно малой функции на константу — бесконечно малая функция.

· Если f(x)— бесконечно малая функция, сохраняющая знак, то 1/f(x)— бесконечно большая функция.

Рассмотрим часто встречающиеся методы вычисления пределов функций на бесконечности.

Пример 1. Найти предел функции: ;

Решение:

При данная функция представляет собой частное двух бесконечно больших величин, имеем неопределенность вида [ ]. Чтобы раскрыть эту неопределенность, применим первую предельную теорему и разделим каждое слагаемое числителя на 5х. Тогда получим:

Пример 2. Вычислить предел:

Решение:

При имеем неопределенность вида [ ]. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на Тогда получим:

Пример 3. Вычислить предел:

Решение:

При данная функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин, имеем неопределённость вида [ ]. Раскроем неопределённость, умножив и разделив функцию на сопряжённое выражение



, и при помощи элементарных преобразований получим:

Задание для самостоятельного выполнения:

Найти пределы функций на бесконечности.

Вариант 1.

1. ; 2. 3.

Вариант 2.

1. ; 2. 3.

Вариант 3.

1. ; 2. 3.

Вариант 4.

1. ; 2. 3.

Вариант 5.

1. ; 2. 3.

Вариант 6.

1. ; 2. 3.

Вариант 7.

1. ; 2. 3.

Вариант 8.

1. ; 2. 3.

Вариант 9.

1. ; 2. 3.

Вариант 10.

1. ; 2. 3.

Вариант 11.

1. ; 2. 3.

Вариант 12.

1. ; 2. 3.

Вариант 13.

1. ; 2. 3.

Вариант 14.

1. ; 2. 3.

Вариант 15.

1. ; 2. 3.

Вопросы для самоконтроля:

1. Перечислите основные методы вычисления пределов на бесконечности.

2. Сформулируйте теоремы о пределах.

3. Какая функция является бесконечно малой, бесконечно большой?

4. Назовите свойства бесконечно малых.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...