Главная Обратная связь

Дисциплины:






Однорідна система лінійних рівнянь



Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

(1.12)

Ця система завжди має нульовий розв’язок , , , тому що підстановка нулів замість невідомих в кожне з рівнянь (1.12) перетворює їх у тотожність.

Якщо визначник системи , то система (1.12) має лише єдиний нульовий розв’язок.

Якщо визначник системи , то система (1.12) має безліч розв’язків. Розглянемо такі два випадки.

1. Припустимо, що у визначнику системи існує принаймні один відмінний від нуля мінор другого порядку. Нехай, наприклад,

. (1.13)

Візьмемо ті рівняння системи (1.12), що містять відмінний від нуля мінор, і запишемо їх у вигляді

(1.14)

Оскільки визначник (1.13) системи (1.14) відмінний від нуля, то за формулами Крамера

, , (1.15)

де

; ; .

Оскільки може набувати будь-яких дійсних значень, , де – довільне дійсне число, тоді з формул (1.15)

; ; . (1.16)

2. Нехай тепер визначник системи (1.12) і всі його мінори другого порядку дорівнюють нулю. Це значить, що коефіцієнти всіх трьох рівнянь (1.12) пропорційні, тому система зводиться до одного рівняння з трьома невідомими. Надаючи двом невідомим довільних значень, знаходять відповідне їм третє невідоме.

Приклад 1.9. Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язування.

Визначник системи

,

тому система невизначена. Усі мінори другого порядку, що містяться у першому і другому рядках визначника, дорівнюють нулю. Тому візьмемо друге і третє рівняння системи:

Ці рівняння містять відмінний від нуля мінор другого порядку

,

тому за формулами (1.16) маємо

; ; .

Отже, система має безліч розв’язків: , , , де – довільне дійсне число.

Критерій сумісності системи лінійних рівнянь.





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...