Главная Обратная связь

Дисциплины:






Теорема Кронекера–Капеллі



Нехай задано систему лінійних рівнянь з невідомими:

(1.17)

Складемо основну матрицю і розширену матрицю даної системи:

; .

Вичерпну відповідь на запитання про існування розв’язку системи (1.17) дає теорема Кронекера–Капеллі.

Теорема Кронекера–Капеллі. Для того, щоб система лінійних рівнянь була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг її основної матриці дорівнював рангу розширеної матриці.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює числу невідомих, то система має єдиний розв’язок.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, але менший числа невідомих, то система має безліч розв’язків.

Завдання для самоконтролю

1. Дати визначення матриці.

2. Які матриці називаються рівними?

3. Навести приклади матриці-рядка і матриці-стовпця.

4. Дати визначення діагональної матриці.

5. Записати одиничну матрицю 4-го порядку.

6. Навести приклад симетричної матриці 3-го порядку.

7. Для матриць якого розміру існує визначник?

8. Яка матриця називається невиродженою?

9. Які матриці будуть переставними?

10. Задані матриці:

і .

Знайти матрицю С, якщо:

а) С = А + 3В; б) С = -2А + В.

11. Задані матриці:

; ; .

Обчислити добуток матриць:

а) ; б) .

12. Знайти матрицю Х із рівняння:

 

а) ; б) .

13. Дослідити систему та знайти розв’язок:

1) за формулами Крамера;

2) за допомогою оберненої матриці;

3) за методом Гаусса.

а)2x1 + x2 + 3x3 = 1 б) 2x1 + 3x2 + x3 = 5

x1 – 2x2 – x3 = -2 3x1 + 2x2 + x3 = 4

-x1 – 3x2 + x3 = 2. 4x1 + 2x2 -3x3 = -4.

14. Визначити, за яких значень α і β система рівнянь має:

1) єдиний розв’язок;

2) не має розв’язків;

3) безліч розв’язків.

 

а) 3x – 4y = α б) αx – 3y = 2

6x – βy = 8. 4x – 6y = β.

 

РОЗДІЛ 2. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...