Главная Обратная связь

Дисциплины:






Лінійна незалежність векторів



Візьмемо множину векторів, які лежать на одній прямій. Очевидно, для будь-яких двох з них виконується умова , де . Тоді беручи за основу (базис) один з них, скажімо, , усі інші вектори можна виразити через за допомогою операції множення на деякий скаляр.

 

 
 

 

 


 

Рис. 2.6

 

Далі візьмемо три вектори , які паралельні одній площині (компланарні вектори), причому і не паралельні один одному. В даному випадку, беручи за базис і , вектор можна подати через вектори базису (рис. 2.6), тобто записати

,

де .

Останнє співвідношення називають розкладанням вектора за даним базисом. Можна показати, що цей розклад єдиний. Отже, базис на площині – це два довільні неколінеарні вектори.

Аналогічно, в просторі, беручи за базис три довільні некомпланарні вектори , будь-який вектор можна подати у вигляді

,

при цьому скаляри називаються координатами,а вектори компонентами вектора у базисі .

Наведемо більш загальні означення й міркування.

Визначення. Вектори , називаються лінійно залежними, якщо існують такі дійсні одночасно не рівні нулю, що

(2.5)

Визначення. Ці самі вектори називаються лінійно незалежними, якщо (2.5) справедливо лише за умови .

Визначення. Вектор називається лінійною комбінацією векторів якщо існують одночасно ненульові ,а такі, що

.

Теорема. Якщо вектори лінійно залежні, то принаймі один з них можна подати у вигляді лінійної комбінації інших (і навпаки).

Приклад 2.1.Показати, що вектори , , утворюють базис у тривимірному простору. Знайти компоненти вектора у цьому базисі.

Розв’язування. За визначенням три вектори тривимірного простору утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, тобто, якщо з рівності нулю їх лінійної комбінації

(2.6)

випливає

Запишемо векторну рівність (2.6) у координатній формі:

Розв’яжемо систему за формулами Крамера:

Обчислюємо визначник системи

.

Легко побачити, що , тому .

З цього випливає, що вектори лінійно незалежні і тому утворюють базис. Будь-який четвертий вектор тривимірного простору є їх лінійною комбінацією:

, (2.7)

де – координати вектора у базисі .

Знайдемо їх. Рівність (2.7) в координатній формі має вигляд

Розв’язки цієї системи: Отже, .

 





sdamzavas.net - 2020 год. Все права принадлежат их авторам! В случае нарушение авторского права, обращайтесь по форме обратной связи...